ST算法------是用来求解给定区间RMQ的最值，本文以最小值为例
ST算法分为两部分
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离线预处理（nlogn）：运用DP思想，用于求解区间最值，并保存到一个二维数组中。
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在线查询 (O(1)）：对给定区间进行分割，借助该二维数组求最值
离线预处理
该二维数组是什么？
- 设该二维数组为dp[n][n]， 则dp[i][j]表示以i为起点，以2^j为区间长度的区间最值即表示数组[i, i+2^j-1]区间的最值。
- 给出一数组A[0~5] = {5,4,6,10,1,12},则区间[2,5]之间的最值为1。
- 比如，dp[0][2]表示区间[0,3]的最小值，即等于4，dp[2][2]表示区间[2,5]的最小值，即等于1。
如何求一个dp[i][j]的最值?
- 在求解dp[i][j]时，将它表示的数组区间分成两部分即将[i,i+2^j-1]分成两份，每份区间长度为2^(j-1)。之后在分别求解这两个区间dp[i][j-1]和dp[i+2^(j-1)][j-1]的最值，然后结合这两个区间求整个区间的最值。(特殊情况：当j=0时，区间长度为1，此时区间中只有一个元素，此时dp[i][0]等于每一个元素的值)。
- 举例：要求解dp[1][2]的最小值，即求解区间[1, 4]={4,6,10,1}的最小值,将区间分为等长两部分[1,2],[3,4]，求这两个区间的最小值，此时这两个区间最小值又对应着dp[1][1],dp[3][1]的最小值。
- 状态转移方程是 dp[i][j] = min(dp[i][j - 1],dp[i + 2^(j - 1)][j - 1])
- 初始状态为：dp[i][0] = A[i]。
- 在根据状态转移方程递推时，是对每一元素，先求区间长度为1的区间最值，之后再求区间长度为2的区间最值，之后再求区间长度为4的区间最值....，最后，对每一个元素，在求解区间长度为log2^n的区间最值后，算法结束，其中n表示元素个数。即：先求dp[0][1]，dp[1][1]，dp[2][1]，dp[3][1]，,，dp[n][1]，再求.dp[0][2]，dp[1][2]，dp[2][2]，dp[3][2]，,，dp[m][2]，... 。
在线查询
- 这里我们是已知待查询的区间[x,y]，求解其最值。
- 在预处理期间，每一个状态对应的区间长度都为2^i。由于给出的待查询区间长度不一定恰好为2^i，因此我们应对待查询的区间进行处理。
这里我们把待查询的区间分成两个小区间，这两个小区间满足两个条件
- 这两个小区间要能覆盖整个区间
- 为了利用预处理的结果，要求小区间长度相等且都为2^i。注意两个小区间可能重叠。
- 如：待查询的区间为[3,11]，先尽量等分两个区间，则先设置为[3,7]和[8,11]。之后再扩大这两个区间，让其长度都等于为2^i。刚划分的两个区间长度分别为5和4，之后继续增加区间长度，直到其成为2^i。此时满足两个条件的最小区间长度为8,
- 此时i = 3在程序计算求解区间长度时，并没有那么麻烦，我们可以直接得到i，即等于直接对区间长度取以2为底的对数。这里，对于区间[3,11]，其分解的区 间长度为int（log(11 - 3 + 1)） = 3，这里log是以2为底的。
- 然后就可以将区间 [x, y]划分成两个小区间[x,x+2^i-1],[y-2^i+1,y]即对应着dp[x][i],dp[y-2^i+1][i]
最后上代码！
1 #include<iostream>
2 #include<algorithm>
3 using namespace std;
4 const int maxn=1e5+5;
5 int dp[maxn][25], a[maxn];
6 void initrmq(int n)
7 {
8 int i, j;
9 for(i=0; i<n; i++)
10 dp[i][0]=a[i];
11 for(j=1; 1<<j<=n; j++)
12 for(i=0; i+(1<<j)<=n; i++)
13 dp[i][j]=min(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
14 }
15 int queryrmq(int l, int r)
16 {
17 int k=log2(r-l+1);
18 return min(dp[l][k], dp[r-(1<<k)+1][k]);
19 }
20 int main()
21 {
22 int i, m, q, n;
23 cin>>n>>q;
24 for(i=0; i<n; i++)
25 cin>>a[i];
26 initrmq(n);
27 while(q--)
28 {
29 int l, r;
30 cin>>l>>r;
31 cout<<queryrmq(l-1, r-1)<<endl;
32 }
33 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/dongdong25800/p/9357673.html
时间： 2024-10-30 05:18:11