欧几里得算法-----欧几里德算法

欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，主要用于计算两个整数a，b的最大公约数。

原理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)（这里a>=b）

（gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|）

证明gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)：a可以表示成a = kb + r，则r= a mod b   假设d是a,b的一个公约数，则有d|a、 d|b（a|b表示a整除b），而r
= a - kb，因此d|r，因此d是(b,a mod b)的公约数；假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d| b ， d |r ，因为a = kb +r，所以d也是(a,b)的公约数。因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，证毕。

函数gcd的代码如下：C/C++代码

①递归

可运行代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
//递归法实现gcd
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    int m,n;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    //cin>>m>>n;
    printf("%d\n",gcd(m,n));
    //cout<<gcd(m,n)<<endl;
    return 0;
}

核心代码：

//递归法实现gcd
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

或者

//递归法实现gcd
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

②迭代

可运行代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
//迭代法实现gcd
int gcd(int a,int b)
{
    int c;
    while(b)
    {
        c=a%b;
        a=b;
        b=c;
    }
    return a;
}
int main()
{
    int m,n;
    scanf("%d%d",&m,&n);//cin>>m>>n;
    printf("%d\n",gcd(m,n));//cout<<gcd(m,n)<<endl;
    return 0;
}

核心代码：

//迭代法实现gcd
int gcd(int a,int b)
{
    int c;
    while(b)
    {
        c=a%b;
        a=b;
        b=c;
    }
    return a;
}

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