推式子小技巧

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先讲一些万金油

• 交换求和顺序，这个很\(naive\)。
• 式子可以随意提到与其无关的枚举项前后，这个也很\(naive\)。
• 算贡献思想，这个非常重要，一般需要一点个人能力，只要转化前后每一项被算的次数一样就可以
• 熟记常见结论，对模数敏感一点，该卷积的就卷起来用多项式，该反演的反演，该容斥的容斥。
• 还要一些灵感啊\(QAQ\)

卷积

这个我玩的不怎么熟，只会常见形式。

\[\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)g(n-i)\]

没错你碰见什么式子尽量拆成只与\(i\)和只与\(n-i\)有关系的函数就可以了，基本上就是卷积。

\[\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)g(i+d)\]

这个嘛，你把\(g\)数组\(reverse\)一下，使得\(g^{'}(n-i-d)=g(i)\)，然后又可以卷了。

组合数学

这个我也不熟，随便鬼扯一点。

• 看到模数是质数又和组合数有关，先想能不能用\(lucas\)优化推理过程，如这道题。
• 基本上所有的扩展数论算法都基于把模数分成\(\prod p_i^{a_i}\)然后对每个\(p_i^{a_i}\)分别处理。
• 遇到一些特殊的计数\(dp\)找性质，利用数量相等的关系推转移方程，如卡农、地精部落、地形生成。
• 该二项式反演的就二项式反演，两种形式记清楚
• \(f(k) = \sum\limits_{i = k}^{n} (-1)^{i}\binom{i}{k}g(i) \Leftrightarrow g(k) = \sum\limits_{i = k}^{n} (-1)^{i} \binom{i}{k}f(i)\)
• \(f(k) = \sum\limits_{i = k}^{n} \binom{i}{k}g(i) \Leftrightarrow g(k) = \sum\limits_{i = k}^{n} (-1)^{i - k} \binom{i}{k}f(i)\)
• 然后主要就是容斥，容斥的本质就是减掉多算的，让每个数变成它该算到的次数。
• 叉姐的标准容斥形式，设\(B_i\)表示第\(i\)件坏事发生的概率，那么\(n\)个坏事都不发生的概率,可以通过\(2^n\)个同时发生的概率计算,\(\{S|B_i\in S\}\)的容斥系数是\((-1)^{|S|}\)。

筛法

这个我还是不熟，又要随便扯一点。

• 线性筛还不会的可以退役了。
• 埃式筛有时候有奇效，\(min\_25\)差不多就是个埃式筛的过程
• 看数据范围行事，\(\le 10^6\)基本上是埃式筛，\(\le2*10^7\)之类就要线性筛了，$\le 10^{10} $~\(10^{11}\)杜教和\(min\_25\)准没错，再大了，就要看灵感了。
• 积性函数是非常非常非常重要的！
• 判断一个函数是不是积性的，先看是不是基本函数，再根据函数定义判断是不是积性函数，实在不行，两个积性函数的狄利克雷卷积函数是积性的，还不能判断那我也没办法了。
• 看到一个函数\(f(p)\)，看它是不是积性的，如果是，那基本上能线筛，只要能快速求\(f(p)\)和\(f(p^k)\)就能线筛，如果不是积性函数，那也可能有一些和线筛过程有关的性质，于是有可以线筛。如此题就是线筛非积性函数的栗子。
• \(min\_25\)筛的原理一定要理解，用它可以干一些与最小质因子(第一步魔改)，最大次大质因子(第二步魔改)，特定质因子(都要魔改)等毒瘤问题。
• 杜教筛是可以有神仙操作的，没事可以试试拿常见的一些函数去卷，毕竟任何积性函数卷任何积性函数结果还是积性函数。如循环之美。

常见结论

\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\ \sum_{d|n}\varphi(d)=n\ (\varphi*e)=(\mu*I)\ \sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)==d]\ =\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}[gcd(i,j)==1]\ =\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\mu(i)\lfloor\frac n{id}\rfloor\lfloor\frac m{id}\rfloor\]
咕咕咕

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