对偶
对偶原理：
有两个定理（或命题），如果一个定理中的所有元素和运算替换为对应的对偶元素的就成为另一个定理时，这两个定理是相互对偶的。两个相互对偶的定理，如果其中一个定理真实，则另一个必然真实。数学上可以证明它的正确性。
所以“对偶“在数学中，指某些成对的概念，从它们本身的含义看是很不相同的。但从某种抽象规律或性质去看，不仅是一一对应的而且可以说是完全一致。如果能够根据某种规律或性质，证得成对概念中一个具有性质A，那么另一概念也必须具有性质A的原则。
从上可知对偶式相互的；对偶是一种广义对称。对称是数学美的重要特征之一。因此，对偶原理从方法论的角度来讲，便是数学的美学方法的一个具体体现，而且这一美学方法又与真紧密联系在一起，因此，它的作用也就显得更加重要了。
关于对偶原理的注意点
1．对偶命题是相互的。
2．对偶与等效是两个不同的概念，不可混淆。另外也不是相似和对称。
对偶性是事物的基本属性，因为任何事物往往都处于方向相反，作用不同的对立状态之中，且双方相互联结、相互依赖，各方都以对方为自己存在的条件。
在数学中，某些对偶的事物，虽然本身意义不同，但其抽象的规律或性质，不仅可以一一对应，而且也可能完全一致。这样就有可能使具有这种性质的两对偶对象，建立起如下的结构关系体系，使在该体系中，对某一对象成立的命题，对其对偶的对象同样成立，这时就说该体系实现了结果关系的对偶化，并说它们间建立了对偶原理。
对偶原理是个普遍的原理，适用于除涉及度量性质外的一切陈述和定理，不需要什么中间支撑物。
平面对偶图：
在图论中，平面图是可以画在平面上并且使得不同的边可以互不交叠的图。
平面对偶图一类特殊的图。指由一个平面图派生出的另一平面图。
在平面图G的每个面内选取一点作为顶点，对于G的任一条边。，将与其相邻的两个面内的顶点用一条仅与‘有一交点且不与图G的其他任何边相交的简单曲线连结，这样得到的平面图称为G的平面对偶图，记为G’.亦称G’为G的几何对偶.平面对偶具有对称性，即，若G’为G的平面对偶图，则G亦为G’的平面对偶图.如图2-12中的实线和虚线分别代表互为对偶的两个平面图.若图G和G’的边集间可建立一个一一对应，使得任何一对对应边集E,和E;有以下关系:
其中，r’(G)和r分别为图的上秩和秩，(E扮为边集E1.在G’上所导出的支撑子图，则G’称为G的代数对偶.代数对偶也具有对称性，即，若G’为G的代数对偶，则G也为G’的代数对偶.若G有平面对偶，则G是可平面的.反之，任何可平面的图也必有代数对偶.这就是惠特尼定理，它是由美国数学家惠特尼(Whit-ney , H.)于1933年首先发现的.这个定理使人们可以不必区别可平面图的几何对偶与代数对偶.若G的平面对偶G’与G本身同构，则称G为自对偶图。
图2-12
在软件设计中，有很多是对偶的不同结构对象，例如：值和指针，我们先从值和地址来看，其在值上的任何操作其实在地址上进行相关的操作是对偶的，例如对值进行“+”或者“-”的操作，其对指针的操作也就是位置的偏移，其满足的原理是对偶的。
又例如引用和对象也是对偶的，我们对某个类型所对应的对象引用的操作处理和对此对象的操作处理都是一致的，如果此引用是接口的引用，而对象是接口，那么接口的引用和接口对象也是对偶的，这需要大家引起注意，因为接口的引用和接口对象联合起来就形成了我们的“组合”设计（相对于继承设计）的组成部分，这其实给了我们非常大的空间可以进行研究和分析。
通过对偶的方式，我们可以站在不同的角度来定义和分析，这就好比如射影几何中通过对偶的点坐标和线坐标来看待射影几何其实是一样的，而对于置换几何来说，也有相似的性质，例如变量和对象在通过封装等操作情况下形成对偶，我们可以将变量看成最原始的操作，然后所有的对象都是这些成员变量的属性构成，而站在另一个角度来说，所有的成员变量我们都可以通过封装成一个对象来进行操作，例如我们站在前一个视角从变量来看对于一个对象A中其内部存在一个×××的变量a，如果我们从对象的角度来看，其×××的变量a，也可以看成Integer类型对应的对象a，所以这样的不同视角可以大大扩展我们的软件设计的领域的眼界和想象空间。
对于置换几何来说，其内部包含很多对偶的情况，这对于我们进行深入的研究和验证都是非常有帮助的，通过对偶我们可以在缺少信息的情况下也能够进行合理的推广。当然，目前对对偶的理解还不是很充分，在数学上我们还没有找到是什么更加深刻的原理支配对偶原理的根源。
另外从平面对偶图也可以反过来看出，置换几何也是存在对偶关系，而且此对偶关系能够为我们针对复杂问题进行转换给出一种更好的方式和方法，虽然目前的结论还较少，但是我相信这里还存在大量的规律可供继续深挖。
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