题意：简单来说就是， 现在有 n个点， m条边， 每次询问一个区间[ l , r ]， 将这个区间的所有边都连上， 如果现在的图中有奇数环， 就输出 “Impossible”， 否者就输出 ”possible“。
题解：
步骤1：我们先找出每个最小的 [ l, r] 当这个区间的边都出现后， 就会出现一个奇数环。
步骤2：问题就变成了对于一次询问 [ L, R ] 是否存在上面的一个区间 被完全覆盖。
对于步骤1来说：需要加边和删边， 我们用 lct 维护。
我们按照 1 ... m 的顺序， 进行添加边。
如果 u 和 v 不联通， 那么我们直接将u和v连起来。
如果 u 和 v 联通， 那么如果我们加上这个边之后就会形成环。
如果是偶数环， 那么我们就删除这个环上最先添加进来的边， 因为我们需要找到最小的[l, r]奇数环区间。
如果是奇数环， 那么说明我们已经找到了一个奇数环区间， 因为有偶数环删除的保证， 所以我们找到的一定是最小的奇数环区间。
然后我们再删除边，将 l+1前面的边都删除， 继续往下找下一个最小奇数环区间。
对于步骤2来说：
我们可以离线所有询问。
对于所有的最小奇数环区间和询问区间都按照左端点大的排序。
当询问区间的 左端点的位置 <= 当前奇数环区间的时候，就在标记一下奇数环区间的右端， 用树状数组维护。
然后查询询问区间的右端点之前有没有点出现过， 如果有就说明有区间被完全覆盖。
因为添加到树状数组里面的 奇数环区间 的左端点一定是 大或等于 当前区间左端点的。
最后输出答案。
代码：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define Fopen freopen("2.in","r",stdin); freopen("_out.txt","w",stdout);
4 #define LL long long
5 #define ULL unsigned LL
6 #define fi first
7 #define se second
8 #define pb push_back
9 #define lson l,m,rt<<1
10 #define rson m+1,r,rt<<1|1
11 #define lch(x) tr[x].son[0]
12 #define rch(x) tr[x].son[1]
13 #define max3(a,b,c) max(a,max(b,c))
14 #define min3(a,b,c) min(a,min(b,c))
15 typedef pair<int,int> pll;
16 const int inf = 0x3f3f3f3f;
17 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
18 const LL mod = (int)1e9+7;
19 const int N = 2e5 + 100;
20 struct Node{
21 int rev, rt;
22 int son[2], pre;
23 int id, mn, sz;
24 void init(int t){
25 sz = rt = 1;
26 rev = pre = son[0] = son[1] = 0;
27 id = mn = t;
28 }
29 }tr[N];
30 void Push_Rev(int x){
31 if(!x) return ;
32 swap(lch(x), rch(x));
33 tr[x].rev ^= 1;
34 }
35 void Push_Up(int x){
36 if(!x) return ;
37 tr[x].sz = tr[lch(x)].sz + tr[rch(x)].sz + 1;
38 tr[x].mn = min3(tr[lch(x)].mn, tr[rch(x)].mn, tr[x].id);
39 }
40 void Push_Down(int x){
41 if(tr[x].rev){
42 tr[x].rev = 0;
43 Push_Rev(lch(x));
44 Push_Rev(rch(x));
45 }
46 }
47 void Rev(int x){
48 if(!tr[x].rt) Rev(tr[x].pre);
49 Push_Down(x);
50 }
51 void rotate(int x){
52 if(tr[x].rt) return;
53 int y = tr[x].pre, z = tr[y].pre;
54 int k = (rch(y) == x);
55 tr[y].son[k] = tr[x].son[k^1];
56 tr[tr[y].son[k]].pre = y;
57 tr[x].son[k^1] = y;
58 tr[y].pre = x;
59 tr[x].pre = z;
60 if(tr[y].rt) tr[y].rt = 0, tr[x].rt = 1;
61 else tr[z].son[rch(z) == y] = x;
62 Push_Up(y);
63 }
64 void Splay(int x){
65 Rev(x);
66 while(!tr[x].rt){
67 int y = tr[x].pre, z = tr[y].pre;
68 if(!tr[y].rt){
69 if(( x == rch(y) ) != (y == rch(z))) rotate(y);
70 else rotate(x);
71 }
72 rotate(x);
73 }
74 Push_Up(x);
75 }
76 void Access(int x){
77 int y = 0;
78 do{
79 Splay(x);
80 tr[rch(x)].rt = 1;
81 rch(x) = y;
82 tr[y].rt = 0;
83 Push_Up(x);
84 y = x;
85 x = tr[x].pre;
86 }while(x);
87 }
88 void Make_rt(int x){
89 Access(x);
90 Splay(x);
91 Push_Rev(x);
92 }
93 void link(int u, int v){
94 Make_rt(u);
95 tr[u].pre = v;
96 }
97 void cut(int u, int v){
98 Make_rt(u);
99 Access(v);
100 Splay(v);
101 tr[lch(v)].pre = 0;
102 tr[lch(v)].rt = 1;
103 tr[v].pre = 0;
104 lch(v) = 0;
105 }
106 bool judge(int u, int v){
107 while(tr[u].pre) u = tr[u].pre;
108 while(tr[v].pre) v = tr[v].pre;
109 return u == v;
110 }
111 int x[N], y[N];
112 int l[N], r[N];
113 int in[N];
114 int ans[N];
115 int tot = 0;
116 int n, m, q;
117 struct node{
118 int l, r, id;
119 bool operator < (const node & x) const {
120 return l > x.l;
121 }
122 }A[N];
123 void solve(int st, int ed){
124 for(int i = st; i <= ed; i++){
125 if(!in[i]) continue;
126 cut(x[i], i+n);
127 cut(y[i], i+n);
128 in[i] = 0;
129 }
130 }
131 int tree[N];
132 inline int lowbit(int x){
133 return x & (-x);
134 }
135 int Query(int x){
136 int ret = 0;
137 while(x){
138 ret += tree[x];
139 x -= lowbit(x);
140 }
141 return ret;
142 }
143 void Add(int x){
144 while(x <= m){
145 tree[x]++;
146 x += lowbit(x);
147 }
148 }
149 int main(){
150 scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
151 for(int i = 1; i <= n; i++) tr[i].init(inf);
152 tr[0].mn = tr[0].id = inf;
153 for(int i = 1; i <= m; i++){
154 scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
155 tr[i+n].init(i+n);
156 }
157 int b = 1;
158 for(int i = 1; i <= m; i++){
159 int u = x[i], v = y[i], id = n+i;
160 if(!judge(u, v)){
161 link(u, id);
162 link(v, id);
163 in[i] = 1;
164 }
165 else {
166 Make_rt(u);
167 Access(v);
168 Splay(v);
169 int sz = tr[v].sz/2;
170 int t = tr[v].mn;
171 if(sz&1) {
172 cut(u, t);
173 cut(v, t);
174 in[t-n] = 0;
175 }
176 else {
177 l[++tot] = t-n; r[tot] = i;
178 solve(b, t-n);
179 b = t-n;
180 }
181 link(u, id);
182 link(v, id);
183 in[i] = 1;
184 }
185 }
186 for(int i = 1; i <= q; i++){
187 scanf("%d%d", &A[i].l, &A[i].r);
188 A[i].id = i;
189 }
190 sort(A+1, A+1+q);
191 for(int i = 1; i <= q; i++){
192 int ll = A[i].l, rr = A[i].r, id = A[i].id;
193 while(tot && ll <= l[tot]){
194 Add(r[tot]);
195 tot--;
196 }
197 if(Query(rr)) ans[id] = 1;
198 }
199 for(int i = 1; i <= q; i++){
200 if(ans[i]) puts("Impossible");
201 else puts("Possible");
202 }
203 return 0;
204 }
因为一直在实验室问步骤2的问题， 又听到一个别的思路。
因为我们保证了最小奇数环区间是没有覆盖情况的， 我们按照左端点小的排序。
对于每次询问我们找到第一段左端点大于询问区间的左端点的区间， 然后判断一下右端点是不是在这个区间里面就好了。
代码：
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 #define Fopen freopen("2.in","r",stdin); freopen("_out.txt","w",stdout);
4 #define LL long long
5 #define ULL unsigned LL
6 #define fi first
7 #define se second
8 #define pb push_back
9 #define lson l,m,rt<<1
10 #define rson m+1,r,rt<<1|1
11 #define lch(x) tr[x].son[0]
12 #define rch(x) tr[x].son[1]
13 #define max3(a,b,c) max(a,max(b,c))
14 #define min3(a,b,c) min(a,min(b,c))
15 typedef pair<int,int> pll;
16 const int inf = 0x3f3f3f3f;
17 const LL INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
18 const LL mod = (int)1e9+7;
19 const int N = 2e5 + 100;
20 struct Node{
21 int rev, rt;
22 int son[2], pre;
23 int id, mn, sz;
24 void init(int t){
25 sz = rt = 1;
26 rev = pre = son[0] = son[1] = 0;
27 id = mn = t;
28 }
29 }tr[N];
30 void Push_Rev(int x){
31 if(!x) return ;
32 swap(lch(x), rch(x));
33 tr[x].rev ^= 1;
34 }
35 void Push_Up(int x){
36 if(!x) return ;
37 tr[x].sz = tr[lch(x)].sz + tr[rch(x)].sz + 1;
38 tr[x].mn = min3(tr[lch(x)].mn, tr[rch(x)].mn, tr[x].id);
39 }
40 void Push_Down(int x){
41 if(tr[x].rev){
42 tr[x].rev = 0;
43 Push_Rev(lch(x));
44 Push_Rev(rch(x));
45 }
46 }
47 void Rev(int x){
48 if(!tr[x].rt) Rev(tr[x].pre);
49 Push_Down(x);
50 }
51 void rotate(int x){
52 if(tr[x].rt) return;
53 int y = tr[x].pre, z = tr[y].pre;
54 int k = (rch(y) == x);
55 tr[y].son[k] = tr[x].son[k^1];
56 tr[tr[y].son[k]].pre = y;
57 tr[x].son[k^1] = y;
58 tr[y].pre = x;
59 tr[x].pre = z;
60 if(tr[y].rt) tr[y].rt = 0, tr[x].rt = 1;
61 else tr[z].son[rch(z) == y] = x;
62 Push_Up(y);
63 }
64 void Splay(int x){
65 Rev(x);
66 while(!tr[x].rt){
67 int y = tr[x].pre, z = tr[y].pre;
68 if(!tr[y].rt){
69 if(( x == rch(y) ) != (y == rch(z))) rotate(y);
70 else rotate(x);
71 }
72 rotate(x);
73 }
74 Push_Up(x);
75 }
76 void Access(int x){
77 int y = 0;
78 do{
79 Splay(x);
80 tr[rch(x)].rt = 1;
81 rch(x) = y;
82 tr[y].rt = 0;
83 Push_Up(x);
84 y = x;
85 x = tr[x].pre;
86 }while(x);
87 }
88 void Make_rt(int x){
89 Access(x);
90 Splay(x);
91 Push_Rev(x);
92 }
93 void link(int u, int v){
94 Make_rt(u);
95 tr[u].pre = v;
96 }
97 void cut(int u, int v){
98 Make_rt(u);
99 Access(v);
100 Splay(v);
101 tr[lch(v)].pre = 0;
102 tr[lch(v)].rt = 1;
103 tr[v].pre = 0;
104 lch(v) = 0;
105 }
106 bool judge(int u, int v){
107 while(tr[u].pre) u = tr[u].pre;
108 while(tr[v].pre) v = tr[v].pre;
109 return u == v;
110 }
111 int x[N], y[N];
112 int in[N];
113 int ans[N];
114 int tot = 0;
115 pll P[N];
116 int n, m, q;
117 void solve(int st, int ed){
118 for(int i = st; i <= ed; i++){
119 if(!in[i]) continue;
120 cut(x[i], i+n);
121 cut(y[i], i+n);
122 in[i] = 0;
123 }
124 }
125 int main(){
126 scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
127 for(int i = 1; i <= n; i++) tr[i].init(inf);
128 tr[0].mn = tr[0].id = inf;
129 for(int i = 1; i <= m; i++){
130 scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
131 tr[i+n].init(i+n);
132 }
133 int b = 1;
134 for(int i = 1; i <= m; i++){
135 int u = x[i], v = y[i], id = n+i;
136 if(!judge(u, v)){
137 link(u, id);
138 link(v, id);
139 in[i] = 1;
140 }
141 else {
142 Make_rt(u);
143 Access(v);
144 Splay(v);
145 int sz = tr[v].sz/2;
146 int t = tr[v].mn;
147 if(sz&1) {
148 cut(u, t);
149 cut(v, t);
150 in[t-n] = 0;
151 }
152 else {
153 P[tot].fi = t-n; P[tot++].se = i;
154
155 solve(b, t-n);
156 b = t-n;
157 }
158 link(u, id);
159 link(v, id);
160 in[i] = 1;
161 }
162 }
163 int l, r;
164 for(int i = 1; i <= q; i++){
165 scanf("%d%d", &l, &r);
166 int p = upper_bound(P, P+tot, pll(l,-1)) - P;
167 if(p == tot || r < P[p].se) puts("Possible");
168 else puts("Impossible");
169 }
170 return 0;
171 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/MingSD/p/9510916.html
时间： 2024-10-23 15:53:08