2018年秋季学期课表

李理论基础I、II

课程编码：011D9101Z﹡ 课时：80 学分：4.00 课程属性：其它 主讲教师：聂思安

教学目的要求
李群和李代数(Lie group and Lie algebra)是在1874年由挪威数学家SophusLie为研究微分方程的对称性而引进的。后经过E. Cartan 和H. Weyl等人的努力，李的理论已成了微分几何的重要研究工具并发展成完整的代数理论。上世纪初，人们发现了李群和李代数在量子物理起重要作用。如今，它在诸如微分几何、偏微分方程、拓扑、数论、控制论、代数编码、可积系统、算子理论、随机过程和计算数学等领域都有广泛的应用。另外，上世纪九十年代初，李理论也出现在生物学的遗传密码的演变中。
本课程打算详细介绍李理论的基础理论。课程的特点是各部分知识的关联性强，像也一个完整的逻辑剧本。它对培养学生的逻辑推理能力非常有用。

预修课程

教材

主要内容
课程由两部分组成。第一部分为有限维李代数的结构和有限维表示基础，共六十个学时。第二部分由任课教师自由发挥，共二十个学时；内容选题如：
李代数的显式表示理论，李群及其表示和代数群等。细节如下：

(一）、有限维李代数的结构和有限维表示基础(60学时):
(1)、李代数的定义和例子，幂零性和可解性，Engel定理，李定理，Jordan-Chevalley分解和Cartan可解性判别准则。
(2)、Killing型，有限维半单李代数和它们间的关系；单李代数，半单李代数的单理想分解和导子；李代数的模和表示的定义，Weyl的完全可约性定理和Cartan根空间分解。
(3)、根系的公理和基本性质，特别基存在性；Weyl群及其性质，根系的分类、构造和自同构群；根格和饱和子集。
(4)、根系对有限维半单李代数的结构的决定；Cartan子代数在内自同构群下的共轭性，单李代数的自同构群，例外型单李代数的构造。
(5)、普遍包络代数和PBW定理，Verma模和有限维半单李代数的有限维不可约模的结构。Weyl特征标公式和有限维不可约模的维数公式；模的张量分解。

(二)、任课教师自由发挥教学选题(三选一，20学时):
(1)、李代数的显式表示理论：
a、典型李代数的基本微分算子表示，非典型微分算子表示。
b、旗型偏微分方程的多项式解,调和多项式基本定理和推广。
c、沈的混合积定理, 特殊线性李代数和辛李代数的射影微分算子表示及推广，正交李代数的共形微分算子表示及推广.

(2)、李群及其表示：
a、李群和李代数关系，指数映射；紧李群的Cartan子群和根系，实约化群的Cartan分解，实约化群的Iwasawa分解。
b、齐性流形和商群；覆盖同态和单连通李群，连续同态和闭子群。
c、李群的有限维表示及共轭表示，Weyl酉技巧及紧李群的有限维表示，紧李群的无穷维酉表示及Peter-Weyl定理，局部凸拓扑向量空间及李群表示，光滑表示及傅里叶级数的收敛性。

(3)、代数群：
a、代数群的定义，嵌入定理，交换代数群，一维交换代数群的分类。
b、求导，微分形式模，切空间（映射），光滑性，代数群的李代数，Lang定理。
c、Chevalley定理，Zariski主定理，齐性空间，抛物子群和Borel子群，Borel不动点定理，
d、简约代数群，秩等于一的半单代数群，根子群，Bruhat分解定理，Grassmann流型的几何，简约代数群的构造和分类，Tits群。

参考文献
[1] A. Borel, Linear algebraic groups, Second edition, Graduate
Texts in Mathematics 126, Springer-Verlag, New York, 1991.
[2] J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and
Representation Theory, Springer-Verlag New York Inc., 1972.
[3] J.E. Humphreys, Linear algebraic groups, Graduate Texts in
Mathematics 21, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975.
[4] T. Springer, Linear algebraic groups, Second edition, Progress
in Math.9, Birkh?user Boston, Inc., Boston, MA 1998
[5]W. Fulton and J. Harris, Representation Theory, Graduate Texts
in Mathematics 129, Springer-Verlag, New York, 1991.
[6] X. Xu, Representations of Lie Algebras and Partial Differential
Equations, Springer, Singapore, 2017.

课程编码：011M5002Y 课时：40 学分：2.00 课程属性：专业普及课 主讲教师：苏阳

教学目的要求
本课程的目的是让学生掌握微分流形的基本拓扑概念和性质，进一步的要求是领会利用分析的方法研究流形拓扑性质的思想和技术。

预修课程
点集拓扑，微分流形初步

教材
Guillenmin & Pollack, Differential Topology

主要内容
1-2 微分流形的基本概念与例子（重点）；
3-4 浸入，嵌入，横截性；
5-6，Sard定理，Morse函数与Morse理论简介；
7-8，Whitney浸入与嵌入定理（难点）；
9-10，相交理论；
11-12，环绕数，应用：Jordan-Brouwer分离定理；
13-14，Borsuk-Ulam定理；
15-16，流形的定向，定向相交数；
17-18，Lefschetz不动点定理；
19-20，向量场，向量场的指标（重点）；
21-22，Poincare-Hopf定理（难点）；
23-24，Hopf映射度定理；
25-26，Euler示性数与三角剖分；
27-28，外代数与微分形式；
29-30，流形上的积分；
31-32，外微分与微分形式（重点）；
33-34，微分形式与DeRhan上同调（难点）；
35-36，Stokes定理（重点）；
37-38，积分与映射度；
39-40，Gauss-Bonnet定理（难点）。

参考文献
J. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint （中文版：微分观点看拓扑）
M. Hirsch, Differential Topology
张筑生，微分拓扑讲义

课程编码：011M4008H 课时：40 学分：2.00 课程属性：专业核心课 主讲教师：黄记祖

教学目的要求
本课程为计算数学专业硕士研究生的专业核心课，同时可做为数学学科其他专业及物理、力学、化学等专业研究生的选修课。本课程的主要内容包括：1. 线性代数方程组的直接解法与迭代法；2. 最小二乘问题的数值方法；3. 特征值问题的计算方法。
通过本课程的学习，希望学生掌握数值线性代数的基本内容和基本方法，对矩阵计算的最新动态有初步了解，能运用所学方法上机实算，为今后从事科研工作打下基础。

预修课程
数学分析或高等数学、线性代数、泛函分析初步

教材
1. 徐树方，《矩阵计算的理论与方法》，北京大学出版社，北京，1995。
2. G．H．戈卢布，C. F. 范洛恩 (袁亚湘等译)，《矩阵计算》，科学出版社，北京，2001。

主要内容
第一章 矩阵代数基础
向量范数和矩阵范数；（1学时）
Schur 分解和奇异值分解；（2学时，教学重点和难点）
子空间距离；（1学时）
Perron-Frobenius 定理；(2学时，教学重点和难点）
Bauer-Fike 定理；Hoffman-Wielandt 定理；Hermite 矩阵的极大极小定理；（2学时，教学重点和难点）
病态问题和算法数值稳定性；（1学时，教师指导下的讨论）
Householder 变换；Givens 变换；Gauss 变换。（1学时）

第二章 线性方程组的直接解法
Gauss 消去法；Cholesky 分解；LTL分解；（3学时）
特殊矩阵解法。（3学时，教学重点和难点）

第三章 线性代数方程组的迭代解法
基本迭代法及其收敛性；（2学时）
H 矩阵与迭代收敛性；（2学时，教学重点和难点）
Chebyshev 半加速法；共轭梯度法；（2学时，教学重点和难点）
不完全LU分解；不完全Cholesky 分解；（2学时）
多重网格法和区域分解法简介。（1学时）

第四章 最小二乘问题的数值解法
正规化方法与正交化方法；（2学时，教学重点和难点）
列主元 QR 分解。（1学时）

第五章 求解特征值问题的 QR 方法
乘幂法；子空间迭代法；（2学时，教学重点和难点）
双重步位移的QR法；（2学时，教学重点和难点）
对称QR算法；三对角方法；（2学时，教学重点和难点）
Jacobi 方法；SVD 的计算；（1学时）
广义特征值的QZ方法。（1学时）

第六章 Lanczos 方法
Lanczos 迭代及其基本性质；K-P-S 理论；（2学时，教学重点和难点）
Lanczos 算法；Arnoldi 方法；GMRES方法。（2学时，教学重点和难点）

参考文献
1. R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix Analysis, Vol.1-2, Posts and Telecom Press, 2005.
2.Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, Second Edition, Science Press, 2009.
3．G.W. Stewart, Matrix Algorithms, Vol. I-II, SIAM Philadelphia, 1998.

课程编码：011M1011H 课时：40 学分：2.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：王晓

教学目的要求
本课程是计算数学和应用数学专业硕士研究生的学科基础课。本课程深入浅出地介绍最优化基本理论和方法，论述无约束最优化和约束最优化的最优性条件、计算方法以及各类算法的收敛性质。本课程还介绍部分特殊形式的优化问题和特殊处理方法。
希望学生通过本课程学习，对优化的理论和方法有较为全面的了解，初步掌握优化主要算法的用法和基本技巧

预修课程
数学分析、线性代数

教材
袁亚湘 著， 《非线性优化计算方法》 ，科学出版社，2008.

主要内容
第一章 引论
1 数学基础
2最优性条件及方法概述（重点）
第二章 一维优化及线搜索
3 牛顿法与割线法
4 精确线搜索方法
5-6 非精确线搜索方法（两个学时，重点、难点）
第三章 信赖域方法
7 算法框架与收敛性
8 信赖域子问题求解
第四章 梯度法与共轭梯度法
9 最速下降法
10 BB方法（重点）
11 共轭梯度法的导出（重点）
12 共轭梯度法的性质（难点）
13 非线性共轭梯度法（重点）
第五章 拟牛顿方法
14 牛顿法
15 拟牛顿法的导出（重点）
16 拟牛顿法的性质（难点）
17 有限内存BFGS方法
第六章 无导数方法
18 坐标轮换方法
19 模式搜索方法
第七章 非线性方程组与非线性最小二乘问题
20 Gauss-Newton方法（重点）
21 Levenberg-Marquardt方法（重点）
第八章 非线性约束优化问题
22 问题描述
23 最优性条件（重点、难点）
第九章 罚函数方法
24 非精确罚函数
25 精确罚函数（难点）
第十章 二次规划
26 最优性条件与对偶理论（重点、难点）
27 消去法
28 积极集方法
29 内点法
第十一章 可行方向法
30 消去法
31投影梯度法
第十二章 逐步二次规划方法
32 Lagrange-Newton方法（重点）
33 SQP方法算法框架（重点）
34 SQP方法超线性收敛性
35 SQP方法 Maratos 效应
36信赖域SQP方法（难点）
第十三章 filter方法
37 filter方法简述
第十四章 内点法
38 内点法概述
第十五章 内容选讲
39 矩阵优化
40 稀疏优化

参考文献
1. Jorge Nocedal, Stephen J. Wright, 《Numerical Optimization》, Springer, 2006.
2. 袁亚湘、孙文瑜 著， 《最优化理论与方法》 ，科学出版社，1997.

课程编码：011M1013H 课时：60 学分：3.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：张三国

教学目的要求
本课程为概率论与数理统计专业硕士、博士研究生的学科基础课，也可作为数学学科各专业，以及其他理科各专业研究生的选修课。统计学内容十分丰富，主要系统的讲授数理统计基础性的概念、方法、理论和计算，为今后学习统计学的各个分支、从事专业研究以及应用统计学打下基础。本课程主要内容为点估计、假设检验、置信区间、Bayes统计推断。

预修课程
概率论与数理统计

教材

主要内容
第一章 预备知识
样本空间与样本分布族、指数分布族、Fisher信息量、统计量及其充分性、Neyman因子分解定理、极小充分统计量、完全统计量、秩序统计量及有关分布、Wald统计决策理论；估计的可容许性
第二章 点估计
矩估计、极大似然估计(MLEs)、无偏估计、一致方差最小无偏估计、 Rao-Blackwell 定理、Lehmann-Scheffe 定理、Cramer-Rao下界、点估计的大样本性质、Delta方法、极大似然估计(MLEs)、Kullback-Leibler距离；一维MLEs渐近理论、Expected 和observed Fisher信息量、多维情形、MLEs数值计算、Newton-Raphson算法、Fisher scoring 算法、不完全数据和EM算法、渐近相对效率、Bayes方法简介与Bayes估计、Stein现象与收缩估计、不变估计、Pitman估计
第三章 假设检验
检验函数、检验的水平与功效、Neyman-Pearson引理、一致最优检验(UMP检验)、单调似然比的UMP检验、一致最优无偏检验(UMPU检验)、指数族的UMPU检验、正态分布参数的UMPU检验、不变检验、检验的p值、似然比检验、Wald检验、Score检验、似然比检验、Wilks定理、Wald检验、Score检验、非参数检验；符号检验、置换检验、Wilcoxon秩检验、拟合优度检验、Kolmogorov-Smirnov检验、Cramer-von Mises检验
第四章 置信区间(区域)
置信区间及优良性、渐近置信区间(区域)、枢轴(Pivotal)方法、假设检验构造置信区间(区域)、Fiducial方法
第五章 Bayes统计与统计决策
Bayes方法、共轭和无信息先验、多层Bayes、经验Bayes、Bayes检验、Bayes HPD置信区间(区域)、Minimax估计

参考文献
1. 茆师松、王静龙、濮晓龙编著，《高等数理统计》，高等教育出版社，1998。
2. 陈希孺著，《数理统计引论》，科学出版社，1997。
3．E.L. Lehmann, G.. Casella Theory of Point Estimation, 2nd edition,1998。
4．E.L. Lehmann, Testing Statistical Hypotheses, 2nd edition,1986。
5．Jun Shao, Mathematical Statistics, 2nd Edition, Springer，2003.

课程编码：011M2001H 课时：40 学分：2.00 课程属性：一级学科普及课 主讲教师：王晓

教学目的要求
本课程为计算数学和应用数学专业硕士研究生的专业普及课，同时也可作为物理、力学、化学及工程科学等专业硕士研究生的选修课。本课程的主要内容包括：1. 基本概念；2. 线性方程组数值求解；3. 函数逼近；4．数值积分；5. 矩阵特征值数值计算；6.非线性方程数值求解；7.常微分方程数值解。 通过本课程的学习，希望学生掌握数值分析的基本内容和基本方法，能运用所学方法上机实算，为今后从事科学与工程计算打下基础。

预修课程
微积分、线性代数、常微分方程

教材
1. J. Stoer, R. Bulirsch，Introduction to Numerical Analysis, 2nd Edition, Springer-Verlag, 1991.
2. 李庆扬、王能超、易大义，《数值分析》第四版，清华大学出版社，2001。

主要内容
第一章：基本概念（4学时）
浮点数运算与舍入误差（1学时）；算法的复杂性、收敛性、稳定性(2学时)；问题的病态性（1学时）。
教学重点与难点：使学生了解计算机运算舍入误差的来源，明确算法研究的主旨和基本问题。
第二章：线性方程组数值解（6学时）
直接法：全选主元和列选主元的Gauss消去法、Doolittle分解、追赶法、Cholesky分解（2学时）；
迭代法：Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代、收敛性、收敛速度 （2学时）；
Krylov子空间方法：最速下降法、共轭梯度法（2学时）。
教学重点与难点：使学生了解三大类方法的基本思想、方法和联系、区别，算法的复杂性、收敛性，会使用这些方法上机实算。
第三章：函数逼近（6学时）
Lagrange、Newton、Hermite 插值，分段线性、Hermite保形插值、三次样条插值（2.5学时）；
最小二乘曲线拟合（1.5学时）；正交多项式与函数最佳平方逼近（2学时）。
教学重点与难点：使学生了解函数的离散与连续逼近的基本思想、方法及相互联系，算法的数值特性，会利用方法进行相应的数据处理或模型拟合、函数逼近。
第四章：数值积分（6学时）
Newton-Cotes型求积公式（1.5学时）；复化求积公式（1学时）；Romberg求积公式（1.5学时）；Gauss型求积公式（2学时）。
教学重点与难点：讲清各种求积公式的原理、方法和联系，及其收敛性、稳定性。
第五章：非线性方程和方程组求解（6学时）
不动点和不动点迭代、Newton迭代、收敛性、收敛阶（3学时）；
迭代加速：Aitken加速、Steffensen迭代（1学时）；
割线法与Mueller法（1学时）；非线性方程组的Newton迭代法（1学时）。
教学重点与难点：迭代法及其加速的原理，收敛阶的判断和改进。
第六章：常微分方程数值解（7学时）
单步法：Euler法、梯形法、预估校正法、局部、整体截断误差、收敛阶（2.5学时）；Runge-Kutta法、相容性、稳定性、绝对稳定域（2.5学时）；
线性多步法：基本概念、Adams法、待定系数法、预估校正法 （2学时）。
教学重点与难点：算法构造的思想、相容性、收敛阶、稳定域的判断。
第七章：特征值的计算方法（5学时）
乘幂法与反幂法（1.5学时）；Householder变换、Givens变换（1.5学时）；QR算法（2学时）
教学重点与难点：讲清算法的原理。

参考文献
1. H. R. Schwarz，Numerical Analysis， A Comprehensive Introduction: With a Contribution by J. Waldvogel， Chichester: Wiley，1989.
2. 蔡大用，白峰杉，《高等数值分析》，清华大学出版社，1997。
3. 白峰杉，《数值计算引论》，高等教育出版社，2004。
4. Michael T. Heath, Scientific Computing, An Introductory Survey, 2nd Edition, McGraw-Hill Companies, Inc. 2002.

课程编码：011M1007Y 课时：60 学分：3.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：余建明

教学目的要求
本课程为基础数学中几何与拓扑专业研究生的学科必修课，同时也可作为相关专业研究生的选修课。拓扑学与代数学、分析学共同组成了现代数学的三大支柱。 拓扑学的结果与方法影响到各门数学分支，在物理学、计算机科学、经济学等许多自然科学与社会科学领域中也有着广泛的应用。
代数拓扑学的目的是提供研究拓扑问题的代数方法，包括各种代数不变量的构造与计算方法。本课程要介绍的不变量为基本群、同调群、上同调群与上同调环，核心内容为它们的定义与计算方法。希望通过本课程的学习，学生能掌握它们的定义与基本性质，对代数拓扑的问题及解决方法有初步了解，为进一步学习现代数学及从事各种专业研究打下基础。

预修课程
抽象代数、点集拓扑

教材

主要内容
1）基本群与覆盖空间（教学重点，8学时）；
2）Seifert-van Kampen 定理（4学时）；
3）曲面的分类（教学重点，6学时）；
4）覆盖空间的分类（2学时）；
5）奇异同调群的定义及性质（教学重点，10学时）；
6）球面同调群及其应用（2学时）；
7）射影空间的同调群（2学时）；
8）同调代数基础（教学重点，4学时）；
9）一般系数同调群（2学时）；
10）万有系数定理（2学时）；
11）Künneth 定理（2学时）；
12）奇异上同调（教学重点，6学时）；
13）杯积与上同调代数（3学时）；
14）帽积与Poincarè 对偶定理（3学时）；
15） Borsuk-Ulam 定理及其应用（4学时）。

参考文献
1.J.R.Munkres : Topology 2nd ed, 2000
2.J.W.Vick: Homology Theory, 2nd ed, GTM 145,1994

课程编码：011M1003Y 课时：60 学分：3.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：吴英毅

教学目的要求
本课程为数学学科各专业博士、硕士研究生的学科基础课。同时也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚实基础。

预修课程
多元微积分，点集拓扑

教材

主要内容
“*”表示重点和难点
第一章 微分流形的基本概念（9学时）
*第一节 微分流形的定义及例子（3学时）
第二节 光滑函数、光滑映射和映射的秩（2学时）
第三节 反函数定理和隐函数定理（1学时）
*第四节 浸入与淹没、子流形（3学时）
第二章 流形上的向量场（10学时）
第一节 流形上一点处的切空间，切映射（2学时）
第二节 向量场，光滑向量场和光滑向量场的李括号（2学时）
*第三节 光滑分布、对合分布、可积性与Frobenius定理（6学时）
第三章 张量代数（9学时）
第一节 向量空间、对偶空间与张量代数（2学时）
第二节 对称与反称张量（2学时）
第三节 单位分解定理（1学时）
第四节 张量场与Riemann度量（2学时）
第五节 外代数（2学时）
第四章 外微分形式（8学时）
第一节 余切空间与线性微分式（1学时）
*第二节 外微分与外形式（4学时）
*第三节 外微分形式的Frobenius定理（3学时）
第五章 流形上的积分与Stokes定理（14学时）
第一节 流形的定向（2学时）
第二节 外微分形式的积分（3学时）
*第三节 带边流形与诱导定向（4学时）
*第四节 Stokes定理（2学时）
*第五节 Stokes定理的应用（3学时）
第六章 李群简介（10学时）
第一节 李群的定义及例子（2学时）
第二节 李群上的左不变向量场，李群的李代数（2学时）
第三节 李群同态，单参数子群，指数映射（3学时）
第四节 李子群定理，闭子群定理（3学时）

参考文献
1. Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM Vol.94，Springer-Verlag and China Academic Publishers, Beijing,1983。
2. 陈省身、陈维桓著，《微分几何讲义》，北京大学出版社，北京，1983。
3. 白正国，沈一兵等，《黎曼几何初步（修订版）》，高等教育出版社，北京，2004。
4. William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry（英文版.第二版修订版）, 人民邮电出版社，北京，2007。

课程编码：011M1002Y 课时：60 学分：3.00 课程属性：一级学科核心课 主讲教师：胡永泉

教学目的要求
本课程是基础数学硕士生的代数系列课程之一，目的是为基础数学方向的研究生及其它需要较多代数知识的专业提供扎实的代数学基础。其它方向的学生也可通过此课程获得现代代数学的训练、常识或修养。内容包括Galois理论、模论、环论和有限群的表示理论。

预修课程
高等数学、线性代数、点集拓扑、抽象代数基础（主要是群论、环论、域论基础）

教材
教师自编讲义

主要内容
第一章 Galois理论 — 基本定理和应用， 有限域扩张的Galois理论， 超越扩张和Noether正规化定理等，*Kummer扩张，*无限Galois理论。约12课时。
第二章 模论 — Artin模， Noether模，合成列、Krull-Schmidt定理， 张量积及例子，双模，代数和余代数，半单模的稠密定理。约16课时。
第三章 环论 — 本原与半本原性及Jacobson根， 半本原Artin环的结构理论， Burnside定理， 有限维中心单代数（同态的扩张，中心化定理）， *单环的Wedderburn-Artin定理， *Brauer群, *Clifford代数。约16课时。
第四章 有限群的表示理论 — 完全可约性，特征标，正交关系，诱导和限制表示及Frobenius互反定理，Brauer定理等。约16课时。（标*者为选讲内容，时间不够则不讲）

教学重点与难点：Galois理论及其实例、模与代数的张量积、中心单代数的结构、有限群表示论的Brauer定理。

参考文献
1.Nathan Jacobson, Basic algebra. I. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1985. xviii+499 pp. ISBN: 0-7167-1480-9
2.Nathan Jacobson, Basic algebra. II. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1989. xviii+686 pp. ISBN: 0-7167-1933-9
3.T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN: 0-387-95183-0
4.Serge Lang, Algebra. Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-Verlag, New York, 2002. xvi+914 pp. ISBN: 0-387-95385-X
5.Jean-Pierre Serre, 郝鈵新 (译者), 有限群的线性表示. 数学翻译丛书. 北京：高等教育出版社, 2007. ISBN: 978-7-04-022040-7

课程编码：011D9103Z﹡ 课时：80 学分：4.00 课程属性：其它 主讲教师：田野

教学目的要求

预修课程

教材

主要内容
(一)、代数数论基础(64学时)
(1)、 数域及代数整数环，二次数域及分圆域，Dedekind整环及其扩张，素理想分解。(16学时)
(2)、类群及单位群 (有限性定理), 二元二次型。(8学时)
(3)、Riemann Zeta函数，Dirichlet L-函数、Dedekind
Zeta函数及类数公式， 及算术应用。(16学时)
(4)、局部域、离散赋值环，局部方法。(14学时)
(5) Adele环，Idele群及类群， Hecke L-函数，类域论初步。(10学时)

(二)、代数数论选讲(16学时，有如下选项)
(1)、Tate’s Thesis。
(2)、类域论。
(3)、分圆单位的Euler系。

参考文献
[1] S. Lang：Algebraic Number Theory , Second Edition, Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag, New York-Heidelberg,1994.
[2] J. Cassels and A. Frohlich：Algebraic Number Theory,Proceedings of the Brighton Conference, Academic Press, New York,1968.
[3] J. Neukirch：Algebraic Number Theory, Springer, Heidelberg,2013.
[4] E. Artin and j. Tate：Class Field Theory, Benjamin, New York,1967.
[5] A. Weil：Basic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1968.
[6] L. Washington: Introduction to cyclotomic fields, Second Edition, Graduate Texts in Mathematics 83, Springer-Verlag, New York, 1997.
[7]S. Lang: {\it Cyclotomic Fields I and II}, Combined Second Edition,Graduate Texts in Mathematics 110, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1990.

课程编码：011D9102Z﹡ 课时：80 学分：4.00 课程属性：其它 主讲教师：付保华

教学目的要求

预修课程

教材

主要内容
(一）、 代数簇 （40 学时）
(1)、 层论与环空间(ringed space)。
(2)、 仿射代数簇，正则函数，态射，范畴等价， 零点定理。
(3)、 射影代数簇，有理函数，态射， properness。
(4)、 一般代数簇，态射，乘积。
(5)、 切空间，光滑性，维数。
(6)、 有限态射，Bertini定理。

(二）、 层的上同调 (20 学时)
(1)、 导函子。
(2)、 形式de Rham定理。
(3)、 仿射代数簇的上同调。
(4)、 Cech上同调。
(5)、 Serre基本定理。
(6)、 Serre对偶。

(三)、 Riemann-Roch公式 （20 学时）
(1)、 因子与线丛, Picard群。
(2)、 线丛的度与Riemann-Roch公式。
(3)、 向量丛。
(4)、 向量丛的Riemann-Roch公式。

参考文献
[1] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in
Mathematics 52, Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
[2]J.Le Potier, Geometrie Algebrique, Lecture Notes.
[3]I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, I、 II, Springer,
Heidelberg, 2013.

原文地址：https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/9607588.html