二叉搜索树（BST）

如图所示为一颗二叉搜索树，二叉搜索树是具有下列性质的二叉树或空树：

1. 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

2. 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

4. 没有键值相等的节点。

补充：二叉搜索树的中序遍历是有序的。

二叉搜索树结构

struct BSTnode{
    BSTnode *l,*r;//分别指向左右节点
    int val;//节点代表的值
    BSTnode(int v){//构造函数
        l=r=NULL,val=v;
    }
};

二叉搜索树查找

对于遇到的每个结点x，都会比较x.val与k的大小，如果相等，就终止查找，否则，决定是继续往左子树还是右子树查找。因此，整个查找过程就是从根节点开始一直向下的一条路径，若假设树的高度是h，那么查找过程的时间复杂度就是O(h)。
BST查找代码如下

BSTnode* search(int k){//二叉搜索树查找
    BSTnode* x=root;
    while(x!=NULL&&x->val!=k){
        if(x->val<k)x=x->r;
        else x=x->l;
    }
    return x;
}

二叉搜索树插入

BST的插入过程非常简单，很类似与二叉树搜索树的查找过程。当需要插入一个新结点时，从根节点开始向下移动，直到遇到一个空的指针NIL，需要插入的值即被存储在该结点位置，如果已经存在，则直接退出。

void insert(int k){//二叉搜索树插入
    BSTnode *x=root,*y;
    while(x!=NULL&&x->val!=k){
        y=x;
        if(x->val<k)x=x->r;
        else x=x->l;
    }
    if(x!=NULL)return;//如果存在就直接退出
    if(k<y->val)y->l=new BSTnode(k);
    else  y->r=new BSTnode(k);
}

二叉搜索树删除

二叉搜索树的结点删除比插入较为复杂，总体来说，结点的删除可归结为三种情况：
1、 如果结点x没有孩子节点，那么只需简单地将其删除，并修改父节点，用NULL来替换x；
2、 如果结点x只有一个孩子，那么将这个孩子节点提升到x的位置，并修改x的父节点，用x的孩子替换x；
3、 如果结点x有2个孩子，那么找到子树中大于或小于k的最接近的值y，然后让y替换z。

void remove(int k){//二叉搜索树删除
    BSTnode *x=root,*y,*z;
    while(x!=NULL&&x->val!=k){
        y=x;
        if(x->val<k)x=x->r;
        else x=x->l;
    }
    if(x==NULL)return;//x不存在
    if(x->l==NULL&&x->r==NULL){//x无子节点
        if(k<y->val)delete x,y->l=NULL;
        else delete x,y->r=NULL;
        return;
    }
    if(x->l==NULL||x->r==NULL){//x只有一个子节点,用子节点替换x,二叉搜索树依然成立
        if(x->l!=NULL){
            if(k < y->val){
                y->l=x->l,delete x;
            }
            else y->r=x->l,delete x;
        }
        else{
            if(k < y->val){
                y->l=x->r,delete x;
            }
            else y->r=x->r,delete x;
        }
        return ;
    }//x有两个子节点,则找到子树中大于或小于k的最接近的值替换
    z=x;
    y=x->r;while(y->l!=NULL)z=y,y=y->l;//用大于k的最接近的值替换
    if(y->val>z->val)z->r=NULL;//一定要判断，不能认为y是z的左节点，因为z可以是x；
    else z->l=NULL;
    x->val=y->val,delete y;
}

中序遍历（有序输出）

void mid_traversal(BSTnode* x){//中序遍历，有序输出
    if(x==NULL)return;
    mid_traversal(x->l);
    printf("%d ",x->val);
    mid_traversal(x->r);
}