建模算法（二）——整数规划

一、概述

1、定义：规划中变量部分或全部定义成整数是，称为整数规划。

2、分诶：纯整数规划和混合整数规划。

3、特点：

（1）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后：

a、原最优解全是整数，那最优解仍成立

b、整数规划没有可行解

c、有可行解，但是不是原最优解

4、求解方法分类

（1）分支定界法

（2）割平面法

（3）隐枚举法

（4）匈牙利法

（5）蒙特卡洛法

二、分支定界法

1、算法如下（求解整数规划最大化问题）

MATLAB实现

function r=checkint(x)
%判断x(i)是不是整数了。是的话r(i)返回1，不是的话，返回0

%输入参数：x   X向量
%输出参数：r   R向量

for i=1:length(x)
    if(min(abs(x(i)-floor(x(i))),abs(x(i)-ceil(x(i))))<1e-3)
        r(i)=1;
    else
        r(i)=0;
    end
end

function val=isrowinmat(arow,mat)
%用来判断mat中是否包含与arow一样的向量

%输入变量：arow    向量
%         mat     矩阵
%输出变量：val     1表示有，0表示没有
val=0;
rows=size(mat,1);
for i=1:rows
    temp=(mat(i,:)==arow);
    if length(find(temp==0))==0
        val=1;
        return;
    else
        val=0;
    end;
end

function [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprogdis(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
% 用法
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint.f,A,b,Aeq,beq)
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb)
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
%    [x,fval,exitflag,output,lambda]=lpint(ifint,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

if nargin<10, options=[];  end
if nargin<9,  x0=[];       end
if nargin<8,  ub=inf*ones(size(f));      end
if nargin<7,  lb=zeros(size(f));      end

[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);

if exitflag<=0        %表示线性规划没有最优解
    return
end

v1=find(ifint==1);  %找到需要整数规划的变量的下标

temp=x(v1);%如果不是要求整数规划的就可以返回了。
if isempty(temp)
    return
end

v2=find(checkint(temp)==0);
if isempty(v2)   %都是整数，得到最众解
    return
end

k=v1(v2(1));

temp1=zeros(1,length(f));
temp1(k)=1;
low=floor(x(k));
if isrowinmat([temp1,low],[A,b])==1
    thisA=A;
    thisb=b;
else
    thisA=[A;temp1];
    thisb=b;
    thisb(end+1)=low;
end

[x1,fval1,exitflag1,output1,lambda1]=linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);

temp2=zeros(1,length(f));
temp2(k)=-1;
high=-ceil(x(k));
if isrowinmat([temp2,high],[A,b])==1
    thisA=A;
    thisb=b;
else
    thisA=[A;temp2];
    thisb=b;
    thisb(end+1)=high;
end

[x2,fval2,exitflag2,output2,lambda2]=linprogdis(ifint,f,thisA,thisb,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);

if (isempty(v2) && ((exitflag1>0 && exitflag2<=0 && fval<=fval)||(exitflag2>0 && exitflag1<=0 && fval<=fval2)||(exitflag1>0 && exitflag2>0 && fval<=fval1 && fval<=fval2)))
    disp(‘error call‘);
    return ; %表示都是整数
end

if exitflag1>0&&exitflag2<=0
     x=x1;
     fval=fval1;
     exitflag=exitflag1;
     output=output1;
     lambda=lambda1;
elseif exitflag1<=0&&exitflag2>0
     x=x2;
     fval=fval2;
     exitflag=exitflag2;
     output=output2;
     lambda=lambda2;
elseif exitflag1>0 && exitflag2>0
    if fval1<fval2
        x=x1;
        fval=fval1;
        exitflag=exitflag1;
        output=output1;
        lambda=lambda1;
    else
         x=x2;
         fval=fval2;
         exitflag=exitflag2;
         output=output2;
         lambda=lambda2;
    end
end