BZOJ 3160 万径人踪灭 解题报告

这个题感觉很神呀。将 FFT 和 Manacher 有机结合在了一起。

首先我们不管那个 “不能连续” 的条件，那么我们就可以求出有多少对字母关于某一条直线对称，然后记 $T_i$ 为关于直线 $i$ 对称的字母对的数量，那么答案（暂记为 $Ans$）就会是：

$$Ans = \sum 2^{T_i}-1$$

在不管那个 “不能连续” 的条件的时候，这个应该是显然的。

怎么算的话，我们弄两次。分别把 $a$ 和 $b$ 当做 $1$，另一个当做 $0$，然后就可以得到一个多项式，将这个多项式平方一下就可以得到所有的 $T_i$ 了，具体用 FFT 实现。

那么我们来管一管这个条件。

我们就可以用 Manacher 求出每一条直线的最长回文半径，然后记 $R_i$ 为直线 $i$ 的最长回文半径，那么实际上的总答案就会是：

$$Ans - \sum R_i$$

然后就做完啦。令 $n$ 为字符串的长度：

时间复杂度 $O(n\log n)$，空间复杂度 $O(n)$。

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstring>
  3 #include <algorithm>
  4 using namespace std;
  5 typedef long long LL;
  6 #define N 262144 + 5
  7 #define _Mod 1000000007
  8 #define Mod 998244353
  9 #define g 3
 10
 11 int n, len, Inv_len, d, ans, e[2][N], Rev[N], A[N], T[N], R[N];
 12 char s[N];
 13
 14 inline int Inc(int u, int v, int p)
 15 {
 16     return u + v - (u + v >= p ? p : 0);
 17 }
 18
 19 inline int power(int u, int v, int p)
 20 {
 21     int res = 1;
 22     for (; v; v >>= 1)
 23     {
 24         if (v & 1) res = (LL) res * u % p;
 25         u = (LL) u * u % p;
 26     }
 27     return res;
 28 }
 29
 30 inline void FFT_Prepare()
 31 {
 32     for (len = n << 1; len != (len & -len); len += (len & -len)) ;
 33     for (int i = len; i > 1; i >>= 1) d ++;
 34     int w = power(g, (Mod - 1) / len, Mod);
 35     int Inv_w = power(w, Mod - 2, Mod);
 36     Inv_len = power(len, Mod - 2, Mod);
 37     for (int i = 0; i < len; i ++)
 38     {
 39         e[0][i] = !i ? 1 : (LL) e[0][i - 1] * w % Mod;
 40         e[1][i] = !i ? 1 : (LL) e[1][i - 1] * Inv_w % Mod;
 41         for (int j = 0; j < d; j ++)
 42             if ((i >> j) & 1) Rev[i] += 1 << (d - j - 1);
 43     }
 44 }
 45
 46 inline void FFT(int *p, int op)
 47 {
 48     for (int i = 0; i < len; i ++)
 49         if (Rev[i] > i) swap(p[Rev[i]], p[i]);
 50     for (int k = 1, s = 1; k < len; k <<= 1, s ++)
 51         for (int i = 0; i < len; i ++)
 52         {
 53             if (i & k) continue ;
 54             int t = (i & (k - 1)) << (d - s);
 55             int u = Inc(p[i], (LL) p[i + k] * e[op][t] % Mod, Mod);
 56             int v = Inc(p[i], (LL) (Mod - p[i + k]) * e[op][t] % Mod, Mod);
 57             p[i] = u, p[i + k] = v;
 58         }
 59 }
 60
 61 inline void FFT_Work(char key)
 62 {
 63     memset(A, 0, sizeof(A));
 64     for (int i = 0; i < n; i ++)
 65         A[i] = (s[i] == key);
 66     FFT(A, 0);
 67     for (int i = 0; i < len; i ++)
 68         A[i] = (LL) A[i] * A[i] % Mod;
 69     FFT(A, 1);
 70     for (int i = 0; i < len; i ++)
 71         T[i] = Inc(T[i], (LL) A[i] * Inv_len % Mod, Mod);
 72 }
 73
 74 inline void Manacher()
 75 {
 76     for (int i = (n << 1); i >= 0; i --)
 77         s[i] = i & 1 ? s[i >> 1] : ‘c‘;
 78     int mx = -1, id;
 79     for (int i = 0; i <= (n << 1); i ++)
 80     {
 81         if (mx > i)
 82             R[i] = min(R[id * 2 - i], mx - i);
 83         else R[i] = 1;
 84         for (; i + R[i] <= (n << 1) && i - R[i] >= 0 && s[i + R[i]] == s[i - R[i]]; R[i] ++) ;
 85         if (i + R[i] > mx)
 86             mx = i + R[i], id = i;
 87     }
 88 }
 89
 90 int main()
 91 {
 92     scanf("%s", s);
 93     n = strlen(s);
 94     FFT_Prepare();
 95     for (char ch = ‘a‘; ch <= ‘b‘; ch ++)
 96         FFT_Work(ch);
 97     for (int i = 0; i < len; i ++)
 98     {
 99         T[i] = (T[i] + 1) >> 1;
100         ans = Inc(ans, power(2, T[i], _Mod) - 1, _Mod);
101     }
102     Manacher();
103     for (int i = 0; i <= (n << 1); i ++)
104         ans = Inc(ans, _Mod - R[i] / 2, _Mod);
105     printf("%d\n", ans);
106
107     return 0;
108 }

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