这题在浴谷夏令营wyx在讲的最小生成树的时候提到过，但并没有细讲怎么写...
这题可以用三种写法写，虽然只有两种能过。。。（倍增/倍增+并查集/树链剖分
先跑出最小生成树，分类讨论，在MST上的边，考虑用可以对这条边有影响的（判断是否有影响同后面）不在MST上的边的最小值-1来更新，不在MST上的边u->v，考虑用MST上u到v的路径上的边的最大值-1来更新。
显然用倍增就可以了，细节看代码。
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=500010,inf=2e9;
struct poi{int x,y,z,pos;}a[maxn];
struct zs{int too,dis,pre;}e[maxn];
int n,m,x,y,z,tot;
int last[maxn],ans[maxn],mn[maxn][20],mx[maxn][20],f[maxn][20],fa[maxn],d[maxn];
bool ty[maxn];
void read(int &k)
{
int f=1;k=0;char c=getchar();
while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
k*=f;
}
bool cmp(poi a,poi b){return a.z<b.z;}
void add(int x,int y,int z){e[++tot].too=y;e[tot].dis=z;e[tot].pre=last[x];last[x]=tot;}
int gf(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=gf(fa[x]);}
void dfs(int x,int fa)
{
f[x][0]=fa;d[x]=d[fa]+1;
for(int i=last[x];i;i=e[i].pre)
if(e[i].too!=fa)
{
mx[e[i].too][0]=e[i].dis;
dfs(e[i].too,x);
}
}
inline int query(int x,int y)
{
int ans=0;
if(d[x]<d[y])swap(x,y);
for(int i=19;i>=0;i--)
if(d[f[x][i]]>=d[y])ans=max(ans,mx[x][i]),x=f[x][i];
if(x==y)return ans;
for(int i=19;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i])ans=max(ans,max(mx[x][i],mx[y][i])),x=f[x][i],y=f[y][i];
return max(ans,max(mx[x][0],mx[y][0]));
}
void update(int x,int y,int delta)
{
if(d[x]<d[y])swap(x,y);
for(int i=19;i>=0;i--)
if(d[f[x][i]]>=d[y])mn[x][i]=min(mn[x][i],delta),x=f[x][i];
if(x==y)return;
for(int i=19;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i])mn[x][i]=min(mn[x][i],delta),mn[y][i]=min(mn[y][i],delta),x=f[x][i],y=f[y][i];
mn[x][0]=min(mn[x][0],delta);mn[y][0]=min(mn[y][0],delta);
}
int main()
{
read(n);read(m);
for(int i=1;i<=m;i++)read(a[i].x),read(a[i].y),read(a[i].z),a[i].pos=i;
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
sort(a+1,a+1+m,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int fx=gf(a[i].x),fy=gf(a[i].y);
if(fx==fy)continue;
add(a[i].x,a[i].y,a[i].z);
add(a[i].y,a[i].x,a[i].z);
fa[fx]=fy;ty[i]=1;
}
dfs(1,0);
for(int j=1;j<20;j++)for(int i=1;i<=n;i++)mx[i][j]=max(mx[i][j-1],mx[f[i][j-1]][j-1]),f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
memset(mn,0x7f,sizeof(mn));
for(int i=1;i<=m;i++)
if(!ty[i])
{
ans[a[i].pos]=query(a[i].x,a[i].y)-1;
update(a[i].x,a[i].y,a[i].z);
}
for(int j=19;j>=1;j--)for(int i=1;i<=n;i++)mn[i][j-1]=min(mn[i][j-1],mn[i][j]),mn[f[i][j-1]][j-1]=min(mn[f[i][j-1]][j-1],mn[i][j]);
for(int i=1;i<=m;i++)if(ty[i])ans[a[i].pos]=(d[a[i].x]>d[a[i].y]?mn[a[i].x][0]:mn[a[i].y][0])-1;
for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d ",ans[i]>=inf?-1:ans[i]);
return 0;
}
显然还可以写链剖。。但是两个log就TLE了。。。
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=200010,inf=2e9;
struct zs{int too,pre,dis;}e[maxn*3];
struct tjm{int max,min,delta;}tree[maxn*4];
struct poi{int x,y,z,pos;}a[maxn];
int n,m,x,y,z,tot,cnt;
int fa[maxn],fq[maxn],d[maxn],son[maxn],size[maxn],last[maxn],len[maxn],mx[maxn],w[maxn],ans[maxn],top[maxn];
bool ty[maxn];
void read(int &k)
{
int f=1;k=0;char c=getchar();
while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
k*=f;
}
bool cmp(poi a,poi b){return a.z<b.z;}
int gf(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=gf(fa[x]);}
void add(int x,int y,int z){e[++tot].too=y;e[tot].dis=z;e[tot].pre=last[x];last[x]=tot;}
void dfs1(int x)
{
for(int i=last[x];i;i=e[i].pre)
{
int too=e[i].too;
if(too==fq[x])continue;
fq[too]=x;
d[too]=d[x]+1;
len[too]=e[i].dis;
dfs1(too);
if(size[too]>size[son[x]])son[x]=too;
size[x]+=size[too];
}
}
void dfs2(int x,int tp)
{
w[x]=++cnt;mx[cnt]=len[x];top[x]=tp;
if(son[x])dfs2(son[x],tp);
for(int i=last[x];i;i=e[i].pre)
if(e[i].too!=fq[x]&&e[i].too!=son[x])dfs2(e[i].too,e[i].too);
}
void pushup(int x,int l,int r)
{
if(l==r)return;
tree[x].min=min(tree[x<<1].min,tree[x<<1|1].min);
tree[x].max=max(tree[x<<1].max,tree[x<<1|1].max);
}
void pushdown(int x,int l,int r)
{
if(l==r)return;
if(tree[x].delta)
{
tree[x<<1].min=tree[x<<1|1].min=tree[x<<1].delta=tree[x<<1|1].delta=tree[x].delta;
tree[x].delta=0;
}
}
void build(int x,int l,int r)
{
if(l==r){tree[x].min=inf;tree[x].max=mx[l];return;}
int mid=(l+r)>>1;
build(x<<1,l,mid);build(x<<1|1,mid+1,r);
pushup(x,l,r);
}
void update(int x,int l,int r,int cl,int cr,int delta)
{
if(cl<=l&&r<=cr)tree[x].min=min(tree[x].min,delta),tree[x].delta=delta;
else
{
pushdown(x,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
if(cl<=mid)update(x<<1,l,mid,cl,cr,delta);
if(cr>mid)update(x<<1|1,mid+1,r,cl,cr,delta);
pushup(x,l,r);
}
}
int query(int x,int l,int r,int cx)
{
if(l==cx&&cx==r)return tree[x].min;
pushdown(x,l,r);
int mid=(l+r)>>1,ret=inf;
if(cx<=mid)ret=query(x<<1,l,mid,cx);
if(cx>mid)ret=query(x<<1|1,mid+1,r,cx);
return ret;
}
int query2(int x,int l,int r,int cl,int cr)
{
if(cl<=l&&r<=cr)return tree[x].max;
pushdown(x,l,r);
int mid=(l+r)>>1,ret=0;
if(cl<=mid)ret=query2(x<<1,l,mid,cl,cr);
if(cr>mid)ret=max(ret,query2(x<<1|1,mid+1,r,cl,cr));
return ret;
}
int work(int x,int y,int delta)
{
int f1=top[x],f2=top[y],ans=0;
while(f1!=f2)
{
if(d[f1]<d[f2])swap(x,y),swap(f1,f2);
if(delta!=-1)update(1,1,n,w[f1],w[x],delta);
else ans=max(ans,query2(1,1,n,w[f1],w[x]));
x=fq[f1];f1=top[x];
}
if(x==y)return ans;
if(d[x]<d[y])swap(x,y);
if(delta!=-1)update(1,1,n,w[son[y]],w[x],delta);
else return max(ans,query2(1,1,n,w[son[y]],w[x]));
return ans;
}
int main()
{
read(n);read(m);
for(int i=1;i<=m;i++)read(a[i].x),read(a[i].y),read(a[i].z),a[i].pos=i;
sort(a+1,a+1+m,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int fx=gf(a[i].x),fy=gf(a[i].y);
if(fx==fy)continue;
add(a[i].x,a[i].y,a[i].z);
add(a[i].y,a[i].x,a[i].z);
fa[fx]=fy;ty[i]=1;
}
dfs1(1);dfs2(1,1);build(1,1,n);
for(int i=1;i<=m;i++)
if(!ty[i])
{
ans[a[i].pos]=work(a[i].x,a[i].y,-1)-1;
work(a[i].x,a[i].y,a[i].z);
}
for(int i=1;i<=m;i++)if(ty[i])ans[a[i].pos]=query(1,1,n,w[d[a[i].x]>d[a[i].y]?a[i].x:a[i].y])-1;
for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d ",ans[i]==inf-1?-1:ans[i]);
return 0;
}
求最大值还是用倍增，求最小值的话，上面两种方法都不够快...
注意到每条边只会被能更新它的最小值更新一次，于是就可以上并查集跳跳跳了，复杂度O(N)
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=500010,inf=2e9;
struct poi{int x,y,z,pos;}a[maxn],edge[maxn];
struct zs{int too,dis,pre;}e[maxn];
int n,m,x,y,z,tot,cnt,f1,f2,lastx,lasty;
int last[maxn],ans[maxn],mn[maxn][20],mx[maxn][20],f[maxn][20],fa[maxn],d[maxn],v[maxn];
bool ty[maxn];
void read(int &k)
{
int f=1;k=0;char c=getchar();
while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
k*=f;
}
bool cmp(poi a,poi b){return a.z<b.z;}
void add(int x,int y,int z){e[++tot].too=y;e[tot].dis=z;e[tot].pre=last[x];last[x]=tot;}
int gf(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=gf(fa[x]);}
inline void dfs(int x,int fa)
{
f[x][0]=fa;d[x]=d[fa]+1;
for(int i=last[x];i;i=e[i].pre)
if(e[i].too!=fa)
{
mx[e[i].too][0]=e[i].dis;
dfs(e[i].too,x);
}
}
inline int query(int x,int y)
{
int ans=0;
if(d[x]<d[y])swap(x,y);
for(int i=19;i>=0;i--)
if(d[f[x][i]]>=d[y])ans=max(ans,mx[x][i]),x=f[x][i];
if(x==y)return ans;
for(int i=19;i>=0;i--)
if(f[x][i]!=f[y][i])ans=max(ans,max(mx[x][i],mx[y][i])),x=f[x][i],y=f[y][i];
return max(ans,max(mx[x][0],mx[y][0]));
}
int main()
{
read(n);read(m);
for(int i=1;i<=m;i++)read(a[i].x),read(a[i].y),read(a[i].z),a[i].pos=i;
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
sort(a+1,a+1+m,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int fx=gf(a[i].x),fy=gf(a[i].y);
if(fx==fy)continue;
add(a[i].x,a[i].y,a[i].z);
add(a[i].y,a[i].x,a[i].z);
fa[fx]=fy;ty[i]=1;
}
dfs(1,0);for(int j=1;j<20;j++)for(int i=1;i<=n;i++)mx[i][j]=max(mx[i][j-1],mx[f[i][j-1]][j-1]),f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
memset(ans,0x7f,sizeof(ans));
for(int i=1;i<=m;i++)
if(!ty[i])
{
ans[a[i].pos]=query(a[i].x,a[i].y)-1;
edge[++cnt].x=a[i].x;edge[cnt].y=a[i].y;edge[cnt].z=a[i].z;
}
sort(edge+1,edge+1+cnt,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
x=edge[i].x;y=edge[i].y;f1=gf(x);f2=gf(y);lastx=0;lasty=0;
while(f1!=f2)
{
if(d[f1]<d[f2])swap(x,y),swap(f1,f2),swap(lastx,lasty);
if(!v[x])
{
v[x]=i;
if(lastx)fa[lastx]=x;
}
else if(lastx)fa[lastx]=f1;
lastx=f1;x=f[f1][0];f1=gf(x);
}
}
for(int i=1;i<=m;i++)if(ty[i]&&v[d[a[i].x]>d[a[i].y]?a[i].x:a[i].y])ans[a[i].pos]=edge[v[d[a[i].x]>d[a[i].y]?a[i].x:a[i].y]].z-1;
for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d ",ans[i]>=inf?-1:ans[i]);
}
倍增+并查集： 
倍增： 
树链剖分： 
时间： 2024-12-23 07:58:15