NEFU117 素数个数的位数【素数定理】

题目连接：

http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=117

题目大意：

给你一个整数N(1 < N < 1000000000)，如果小于10^N的整数中素数的个数为π(N)，

那么问题来了：求π(N)的位数是多少。

思路：

素数的个数π(N)有素数定理可得：π(N) = N/ln(N)。本题中π(10^N) = 10^N/ln(10^N)。

问题就转换为：求N^10*ln(N^10)共有多少位。设共有x位，可得 10^x = 10^N/ln(10^N)。

对两边同时取对数log10，得：

10^x = N^10 / ln(N^10)

log10(10^x) = log10( 10^N
/ ln(10^N) )

x = N - log10( ln(10^N) )

x = N - ( log10(N) + log10( ln10 )

x = N - log10(N) - log10( ln10 )

最后x取整+1，得出对应的位数。

素数定理：

对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋近1。

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const double e = 2.71828;

int main()
{
    int N;
    while(cin >> N)
    {
        double M = double(N) - log10(N) - log10(log(10));
        cout << (int)M + 1 << endl;
    }

    return 0;
}