传送门: 随机斐波那契
#1164 : 随机斐波那契
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描述
大家对斐波那契数列想必都很熟悉:
a0 = 1, a1 = 1, ai = ai-1 + ai-2,(i > 1)。
现在考虑如下生成的斐波那契数列:
a0 = 1, ai = aj + ak, i > 0, j, k从[0, i-1]的整数中随机选出(j和k独立)。
现在给定n,要求求出E(an),即各种可能的a数列中an的期望值。
输入
一行一个整数n,表示第n项。(1<=n<=500)
输出
一行一个实数,表示答案。你的输出和答案的绝对或者相对误差小于10-6时被视为正确答案。
样例解释
共存在3种可能的数列
1,2,2 1/4
1,2,3 1/2
1,2,4 1/4
所以期望为3。
- 样例输入
-
2
- 样例输出
-
3.000000 分析:这道题要特别注意j和k独立这个条件,在这个条件下我们可以得到E(an)(以下简写成E[n])的一个表达式 E[n] = 2*S[n-1] / n,其中Sn定义成 S[n] = E[0] + E[1] + E[2] + .... + E[n]下面我将从上面的两个式子出发推出E[n]关于n的表达式。由 E[n] = S[n] - S[n-1]及 E[n] = 2 * S[n-1] / n消去S[n]得到 E[n] = 2 * S[n-1] / n即 n * E[n] = 2 * S[n-1]从而亦有 (n+1) * E[n+1] = 2 * S[n]将上面两式和第一式相结合即可得到 (n+1) * E[n+1] - n * E[n] = 2 * E[n]亦即 E[n+1] / E[n] = (n+2) / (n+1) 进而得到 E[n] = (n+1) E[0] = n+1
时间: 2024-10-23 19:37:54