57. 数对之差的最大值：4种方法详解与总结[maximum difference of array]

【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/maximum-difference-of-array.html

【题目】

在数组中，数字减去它右边的数字得到一个数对之差。求所有数对之差的最大值。例如在数组{2, 4, 1, 16, 7, 5, 11,
9}中，数对之差的最大值是11，是16减去5的结果。

【分析】

看到这个题目，很多人的第一反应是找到这个数组的最大值和最小值，然后觉得最大值减去最小值就是最终的结果。这种思路忽略了题目中很重要的一点：数对之差是一个数字减去它右边的数字(不包括自身)。由于我们无法保证最大值一定位于数组的左边，因此这个思路不管用。

有如下4种方法对此题进行解答。

【方法1：蛮力法】

很容易想到，让每一个数字逐个减去它右边的所有数字，并通过比较得到数对之差的最大值。所有的数对只差共有n*(n-1)/2，因而时间复杂度为O(n^2)。我们设定只有1个数字时，最大数对之差为INT_MIN，即0x80000000。

【代码】

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// 57_MaxDiffOfArray.cpp : Defines the entry point for the console application.

//

/*

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*/


#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

// brute force

int MaxDiff_BruteForce(int *numbers, int length)

{
    // O(n^2)
    if(NULL == numbers || length < 2)

        return INT_MIN;

    //init maxdiff to min value

    int maxDiff = INT_MIN;

    for (int i = 0; i < length; ++i)

     {

        for (int j = i + 1; j < length; ++j)

         {

            int diff = numbers[i] - numbers[j];

            // update maxDiff
            if (diff > maxDiff)

                 maxDiff = diff;

         }

     }
    return maxDiff;
}

void test_base(int *numbers, int length)

{

     cout << MaxDiff_BruteForce(numbers, length) << endl;

}

void test_case1()

{
    int a[] = {2};
    int length = sizeof(a) / sizeof(int);

     test_base(a, length);
}

void test_case2()

{
    int a[] = {2, 4};
    int length = sizeof(a) / sizeof(int);

     test_base(a, length);
}

void test_case3()

{
    int a[] = {2, 4, 1, 16, 7, 5, 11, 9};
    int length = sizeof(a) / sizeof(int);

     test_base(a, length);
}

void test_main()

{
     test_case1();

     test_case2();

     test_case3();
}

int _tmain(int argc, _TCHAR *argv[])

{
     test_main();

    return 0;
}
/*

-2147483648
-2
11
*/

【方法2：分治法】

通常【蛮力法】不会是最好的解法，我们想办法减少减法的次数。

假设我们把数组以中间元素为分割点分成两个子数组，我们其实没有必要拿左边的子数组中较小的数字A去和右边的子数组中较大的数字B作减法。我们可以想象，数对之差的最大值只有可能是下面三种情况之一：

（1）A和B都在第一个子数组中，即第一个子数组中的数对之差的最大值；

（2）A和B都在第二个子数组中，即第二个子数组中数对之差的最大值；

（3）A在第一个子数组中，是第一个子数组的最大值；B在第二个子数组中，是第二个子数组的最小值。

那么这三个差值的最大者就是整个数组中数对之差的最大值。

在前面提到的三种情况中，得到第一个子数组的最大值和第二子数组的最小值不是一件难事，但如何得到两个子数组中的数对之差的最大值？这其实是原始问题的子问题，我们可以递归地解决。

【代码】

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*/


#define MIN(a,b) a<b?a:b

#define MAX(a,b) a>b?a:b


// get max of a b c

int max3(int a, int b, int c)

{
    int t = a > b ? a : b;

    return t > c ? t : c;

}

// get max diff from [left,right] and pass out max/min value

int MaxDiffCore(int *left, int *right, int *min, int *max)

{
    if(left == right)

     {

         *max = *min = *left;

        return INT_MIN;

     }
    int *middle = left + (right - left) / 2;
    // get left max diff

    int minLeft, maxLeft;

    int leftDiff = MaxDiffCore(left, middle, &minLeft, &maxLeft);


    // get right max diff

    int minRight, maxRight;

    int rightDiff = MaxDiffCore(middle + 1, right, &minRight, &maxRight);


    // get cross max diff

    int crossDiff = maxLeft - minRight;


    // update whole array min and max value

    *min = MIN(minLeft, minRight);

     *max = MAX(maxLeft, maxRight);


    int maxDiff = max3(leftDiff, rightDiff, crossDiff);

    return maxDiff;

}

// divide and conquer

int MaxDiff_DivideAndConquer(int *numbers, int length)

{
    // T(n)=2*T(n/2)+O(1)===>Tn=O(n)

    if(NULL == numbers || length < 2)

        return INT_MIN;

    int min, max;

    return MaxDiffCore(numbers, numbers + length - 1, &min, &max);

}

在函数MaxDiffCore中，我们先得到第一个子数组中的最大的数对之差leftDiff，再得到第二个子数组中的最大数对之差rightDiff。接下来用第一个子数组的最大值减去第二个子数组的最小值得到crossDiff。这三者的最大值就是整个数组的最大数对之差。在求解数对之差的同时，还要求解子数组的最小值和最大值。

【方法3：转化法】

转换为求子数组的最大和问题。

接下来再介绍一种比较巧妙的解法。如果输入一个长度为n的数组numbers，我们先构建一个长度为n-1的辅助数组diff，并且diff[i]等于numbers[i]-numbers[i+1]（0<=i<n-1）。如果我们从数组diff中的第i个数字一直累加到第j个数字（j
> i），也就是diff[i] + diff[i+1] + … + diff[j] = (numbers[i]-numbers[i+1]) +
(numbers[i + 1]-numbers[i+2]) + ... + (numbers[j] – numbers[j + 1]) = numbers[i]
– numbers[j + 1]。

分析到这里，我们发现原始数组中最大的数对之差（即numbers[i] – numbers[j +
1]）其实是辅助数组diff中最大的连续子数组之和。

【代码】

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*/

// max sub sequence sum

int MaxSubSequenceSum(int *array, int length)

{
    // f = max(f+a[i],a[i])

    if(NULL == array || length <= 0)

        return INT_MIN;

    int f = array[0];
    int greatest = array[0];
    for (int i = 1; i < length; i++)

     {

        if (f <= 0)

             f = array[i];

        else

             f += array[i];

        // update greatest

        if (greatest < f)

             greatest = f;

     }
    return greatest;
}

// maximum continuous sub-sequence sum

int MaxDiff_Transformation(int *numbers, int length)

{
    // Tn=O(n)
    if(NULL == numbers || length < 2)

        return INT_MIN;

    // generate diff array

    int diffLength = length - 1;
    int *diff = new int[diffLength];

    for (int i = 0; i < diffLength; ++i)

         diff[i] = numbers[i] - numbers[i + 1];

    // get maximum continuous sub-sequence sum

    int maxDiff = MaxSubSequenceSum(diff, diffLength);

    delete []diff;

    return maxDiff;

}

【方法4：动态规划法】

既然我们可以把求最大的数对之差转换成求子数组的最大和，而子数组的最大和可以通过动态规划求解，那我们是不是可以通过动态规划直接求解呢？下面我们试着用动态规划法直接求数对之差的最大值。

我们定义diff[i]是以数组中第i个数字为减数的所有数对之差的最大值(0<=i<n)。

则有diff[i+1] = max(diff[i], maxi-array[i+1])，maxi表示数组array[0,…i]的最大值。

【代码】

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*/


// max diff using dynamic programming

// diff[i]: maxDiff ending at array[i] (0<=i<n)

// maxi: max value of array[0,...i]

// diff[i+1] = max (diff[i],maxi-array[i+1])

int MaxDiff_DP(int *numbers, int length)

{
    // Tn=O(n)
    if(NULL == numbers || length < 2)

        return INT_MIN;

    int maxi = numbers[0];
    int maxDiff = INT_MIN;

    for (int i = 1; i < length; i++)

     {

        if(maxi < numbers[i - 1])

             maxi = numbers[i - 1];

        if(maxDiff < maxi - numbers[i])

             maxDiff = maxi - numbers[i];

     }
    return maxDiff;

}

【总结】

【方法1：蛮力法】时间复杂度为O(n2)，空间复杂度为O(1)。

【方法2：分治法】时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。
由于该方法基于递归实现，因此会有额外的时间、空间消耗。

【方法3：转化法】时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。

【方法4：动态规划法】时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。该方法则没有额外的时间、空间消耗，并且它的代码是最简洁的，因此这是最值得推荐的一种解法。

【参考】

http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420116135376632/

http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/12/01/2270724.html

【本文链接】

http://www.cnblogs.com/hellogiser/p/maximum-difference-of-array.html

57. 数对之差的最大值：4种方法详解与总结[maximum difference of array],布布扣,bubuko.com

时间： 2024-08-05 04:25:32

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