转载自：远航休息栈
字符串Hash总结
Hash是什么意思呢？某度翻译告诉我们：
hash 英[hæ?] 美[hæ?]
n. 剁碎的食物; #号; 蔬菜肉丁;
vt. 把…弄乱; 切碎; 反复推敲; 搞糟;
我觉得Hash是引申出 把...弄乱 的意思。
今天就来谈谈Hash的一种——字符串hash。
据我的理解，Hash就是一个像函数一样的东西，你放进去一个值，它给你输出来一个值。输出的值就是Hash值。一般Hash值会比原来的值更好储存(更小)或比较。
那字符串Hash就非常好理解了。就是把字符串转换成一个整数的函数。而且要尽量做到使字符串对应唯一的Hash值。
字符串Hash的种类还是有很多种的，不过在信息学竞赛中只会用到一种名为“BKDR Hash”的字符串Hash算法。
它的主要思路是选取恰当的进制，可以把字符串中的字符看成一个大数字中的每一位数字，不过比较字符串和比较大数字的复杂度并没有什么区别(高精数的比较也是O(n)O(n)的)，但只要把它对一个数取模，然后认为取模后的结果相等原数就相等，那么就可以在一定的错误率的基础上O(1)O(1)进行判断了。
那么我们选择什么进制比较好？
首先不要把任意字符对应到数字0，比如假如把a对应到数字0，那么将不能只从Hash结果上区分ab和b（虽然可以额外判断字符串长度，但不把任意字符对应到数字0更加省事且没有任何副作用），一般而言，把a-z对应到数字1-26比较合适。
关于进制的选择实际上非常自由，大于所有字符对应的数字的最大值，不要含有模数的质因子(那还模什么)，比如一个字符集是a到z的题目，选择27、233、19260817都是可以的。
模数的选择（尽量还是要选择质数）：
绝大多数情况下，不要选择一个109109级别的数，因为这样随机数据都会有Hash冲突，根据生日悖论，随便找上109−−−√109个串就有大概率出现至少一对Hash 值相等的串（参见BZOJ 3098 Hash Killer II）。
最稳妥的办法是选择两个109109级别的质数，只有模这两个数都相等才判断相等，但常数略大，代码相对难写，目前暂时没有办法卡掉这种写法（除了卡时间让它超时）（参见BZOJ 3099 Hash Killer III）。
如果能背过或在考场上找出一个10181018级别的质数(Miller-Rabin)，也相对靠谱，主要用于前一种担心会超时，后一种担心被卡。
偷懒的写法就是直接使用unsigned long long，不手动进行取模，它溢出时会自动对264264进行取模，如果出题人比较良心，这种做法也不会被卡，但这个是完全可以卡的，卡的方法参见BZOJ 3097 Hash Killer I。
用luogu P3370为例。
这是自然溢出hash(100)
C++
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 |
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef unsigned long long ull; ull base=131; ull a[10010]; char s[10010]; int n,ans=1; ull hashs(char s[]) { int len=strlen(s); ull ans=0; for (int i=0;i<len;i++) ans=ans*base+(ull)s[i]; return ans&0x7fffffff; } main() { scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%s",s); a[i]=hashs(s); } sort(a+1,a+n+1); for (int i=2;i<=n;i++) if (a[i]!=a[i-1]) ans++; printf("%d\n",ans); } |
这是单模数hash(80)
C++
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 |
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef unsigned long long ull; ull base=131; ull a[10010]; char s[10010]; int n,ans=1; ull mod=19260817; ull hashs(char s[]) { int len=strlen(s); ull ans=0; for (int i=0;i<len;i++) ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod; return ans; } main() { scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%s",s); a[i]=hashs(s); } sort(a+1,a+n+1); for (int i=2;i<=n;i++) if (a[i]!=a[i-1]) ans++; printf("%d\n",ans); } |
这是双hash(100)
C++
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 |
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef unsigned long long ull; ull base=131; struct data { ull x,y; }a[10010]; char s[10010]; int n,ans=1; ull mod1=19260817; ull mod2=19660813; ull hash1(char s[]) { int len=strlen(s); ull ans=0; for (int i=0;i<len;i++) ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod1; return ans; } ull hash2(char s[]) { int len=strlen(s); ull ans=0; for (int i=0;i<len;i++) ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod2; return ans; } bool comp(data a,data b) { return a.x<b.x; } main() { scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%s",s); a[i].x=hash1(s); a[i].y=hash2(s); } sort(a+1,a+n+1,comp); for (int i=2;i<=n;i++) if (a[i].x!=a[i-1].x || a[i-1].y!=a[i].y) ans++; printf("%d\n",ans); } |
这是只用一个10^18质数的hash(100)
C++
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 |
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef unsigned long long ull; ull base=131; ull a[10010]; char s[10010]; int n,ans=1; ull mod=212370440130137957ll; ull hashs(char s[]) { int len=strlen(s); ull ans=0; for (int i=0;i<len;i++) ans=(ans*base+(ull)s[i])%mod; return ans; } main() { scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%s",s); a[i]=hashs(s); } sort(a+1,a+n+1); for (int i=2;i<=n;i++) if (a[i]!=a[i-1]) ans++; printf("%d\n",ans); } |
Hash还有一方面，就是它可以处理子串信息。对于一个字符串，我们可以预处理它1−l1−l的hash值，这样l+1l+1的hash值就可以O(1)O(1)的递推出来。
对于一个字符串l−rl−r的子串，我们可以用f[r]−br−l+1f[l−1]f[r]−br−l+1f[l−1]来求出来，其中b表示进制。
这样的话hash就可以水过字符串匹配的题目
【题目描述】
法国作家乔治·佩雷克(Georges Perec，1936-1982)曾经写过一本书，《敏感字母》（La disparition），全篇没有一个字母‘e’。他是乌力波小组（Oulipo Group）的一员。下面是他书中的一段话：
Tout avait Pair normal, mais tout s’affirmait faux. Tout avait Fair normal, d’abord, puis surgissait l’inhumain, l’affolant. Il aurait voulu savoir où s’articulait l’association qui l’unissait au roman : stir son tapis, assaillant à tout instant son imagination, l’intuition d’un tabou, la vision d’un mal obscur, d’un quoi vacant, d’un non-dit : la vision, l’avision d’un oubli commandant tout, où s’abolissait la raison : tout avait l’air normal mais…
佩雷克很可能在下面的比赛中得到高分（当然，也有可能是低分）。在这个比赛中，人们被要求针对一个主题写出甚至是意味深长的文章，并且让一个给定的“单词”出现次数尽量少。我们的任务是给评委会编写一个程序来数单词出现了几次，用以得出参赛者最终的排名。参赛者经常会写一长串废话，例如500000个连续的‘T’。并且他们不用空格。
因此我们想要尽快找到一个单词出现的频数，即一个给定的字符串在文章中出现了几次。更加正式地，给出字母表{‘A‘,‘B‘,‘C‘,...,‘Z‘}和两个仅有字母表中字母组成的有限字符串：单词W和文章T，找到W在T中出现的次数。这里“出现”意味着W中所有的连续字符都必须对应T中的连续字符。T中出现的两个W可能会部分重叠。
【输入格式】
输入包含多组数据。
输入文件的第一行有一个整数，代表数据组数。接下来是这些数据，以如下格式给出：
第一行是单词W，一个由{‘A‘,‘B‘,‘C‘,...,‘Z‘}中字母组成的字符串，保证1<=|W|<=10000（|W|代表字符串W的长度）
第二行是文章T，一个由{‘A‘,‘B‘,‘C‘,...,‘Z‘}中字母组成的字符串，保证|W|<=|T|<=1000000。
【输出格式】
对每组数据输出一行一个整数，即W在T中出现的次数。
【样例输入】
3
BAPC
BAPC
AZA
AZAZAZA
VERDI
AVERDXIVYERDIAN
【样例输出】
1
3
0
代码
C++
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 |
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef unsigned long long ull; ull base=131; ull po[100010],hs[100010*100]; char s1[100010],s2[100010*100]; int n,ans=1,T; ull geth(int l,int r) { return (ull)hs[r]-po[r-l+1]*hs[l-1]; } main() { freopen("oulipo.in","r",stdin); freopen("oulipo.out","w",stdout); po[0]=1; for (int i=1;i<=10010-5;i++) po[i]=po[i-1]*base; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%s%s",s1+1,s2+1); int l1=strlen(s1+1),l2=strlen(s2+1); ull a1=0,ans=0; for (int i=1;i<=l1;i++) a1=a1*base+(ull)s1[i]; for (int i=1;i<=l2;i++) hs[i]=hs[i-1]*base+s2[i]; for (int i=1;i+l1-1<=l2;i++) if (a1==geth(i,i+l1-1)) ans++; printf("%d\n",ans); } } |
写到这里突然发现hash好像可以暴力水过很多字符串算法。。
1、kmp
问题：给两个字符串S1，S2，求S2是否是S1的子串，并求S2在S1中出现的次数
把S2 Hash出来，在S1里找所有长度为|S2||S2|的子串，Hash比较。效率O(|S1|)O(|S1|)
2、AC自动机
问题：给N个单词串，和一个文章串，求每个单词串是否是文章串的子串，并求每个单词在文章中出现的次数。
把每一个单词hash成整数，再把文章的每一个子串hash成整数，接下来只需要进行整数上的查找即可。
复杂度：O(|A|2+|S|)O(|A|2+|S|)
用AC自动机可以做到O(|A|+|S|)O(|A|+|S|)的复杂度,|S||S|是单词串总长，|A||A|是文章长度
3、后缀数组
问题：给两个字符串S1,S2，求它们的最长公共子串的长度。
将S1的每一个子串都hash成一个整数，将S2的每一个子串都hash成一个整数
两堆整数，相同的配对，并且找到所表示的字符串长度最大的即可。
复杂度：O(|S1|2+|S2|2)O(|S1|2+|S2|2)
用后缀数组可以优化到O(|S|log|S|)O(|S|log|S|)
4、马拉车
问题：给一个字符串S，求S的最长回文子串。
先求子串长度位奇数的，再求偶数的。枚举回文子串的中心位置，然后二分子串的长度，直到找到一个该位置的最长回文子串，不断维护长度最大值即可。
复杂度：O(|S|log|S|)O(|S|log|S|)
用manacher可以做到O(|S|)O(|S|)的复杂度
5、扩展kmp
问题：给一个字符串S，求S的每个后缀与S的最长公共前缀
枚举每一个后缀的起始位置，二分长度，求出每个后缀与S的最长公共前缀。
复杂度：O(|S|log|S|)O(|S|log|S|)
用extend-kmp可以做到O(|S|)O(|S|)的复杂度
后记
hash真是一种优雅的暴力。
因为字符串特殊的性质，我们可以二分得处理它，一般都有单调性。