\(\fbox{例1}\)(2017凤翔中学高三第三次月考第10题)(异面直线所成的角)
长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中,\(AB=AA_1=2\),\(AD=1\),则异面直线\(BC_1\)与\(AC\)所成的角的余弦值是多少?
法1:立体几何法,作证算,思路:将两条异面直线平移至一个三角形中,然后解三角形得到。
将\(BC_1\)平移到\(AD_1\),联结\(CD_1\),则\(\angle CAD_1\)为两条异面直线所成的角,
在\(\Delta ACD_1\)中,可知\(AC=\sqrt{5}\),\(AD_1=\sqrt{5}\),\(CD_1=2\sqrt{2}\),
由余弦定理可知\(cos\angle CAD_1=\cfrac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2-(2\sqrt{2})^2}{2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\cfrac{1}{5}\);
法2:空间向量法,
以点\(D\)为坐标原点,分别以\(DA、DC、DD_1\)所在的直线为\(x、y、z\)轴建立如图所示的直角坐标系,
则点\(D(0,0,0)\),\(A(1,0,0)\),\(C(0,2,0)\),\(B(1,2,0)\),\(D_1(0,0,2)\),\(A_1(1,0,2)\),\(B_1(1,2,2)\),\(C_1(0,2,2)\),
故\(\overrightarrow{BC_1}=(-1,0,2)\),\(\overrightarrow{AC}=(-1,2,0)\),
设两条异面直线所成的角为\(\theta\),则\(cos\theta=|cos<\overrightarrow{BC_1},\overrightarrow{AC}>|=\cfrac{(-1)\times(-1)+0\times2+2\times 0}{\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}\times\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}}=\cfrac{1}{5}\)。
备注:两条异面直线所成角的范围\([0,\cfrac{\pi}{2}]\),两个向量所成角的范围\([0,\pi]\)。