高中数学中的角的求解

\(\fbox{例1}\)(2017凤翔中学高三第三次月考第10题)(异面直线所成的角)

长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中,\(AB=AA_1=2\),\(AD=1\),则异面直线\(BC_1\)与\(AC\)所成的角的余弦值是多少?

法1:立体几何法,作证算,思路:将两条异面直线平移至一个三角形中,然后解三角形得到。

将\(BC_1\)平移到\(AD_1\),联结\(CD_1\),则\(\angle CAD_1\)为两条异面直线所成的角,

在\(\Delta ACD_1\)中,可知\(AC=\sqrt{5}\),\(AD_1=\sqrt{5}\),\(CD_1=2\sqrt{2}\),

由余弦定理可知\(cos\angle CAD_1=\cfrac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2-(2\sqrt{2})^2}{2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\cfrac{1}{5}\);

法2:空间向量法,

以点\(D\)为坐标原点,分别以\(DA、DC、DD_1\)所在的直线为\(x、y、z\)轴建立如图所示的直角坐标系,

则点\(D(0,0,0)\),\(A(1,0,0)\),\(C(0,2,0)\),\(B(1,2,0)\),\(D_1(0,0,2)\),\(A_1(1,0,2)\),\(B_1(1,2,2)\),\(C_1(0,2,2)\),

故\(\overrightarrow{BC_1}=(-1,0,2)\),\(\overrightarrow{AC}=(-1,2,0)\),

设两条异面直线所成的角为\(\theta\),则\(cos\theta=|cos<\overrightarrow{BC_1},\overrightarrow{AC}>|=\cfrac{(-1)\times(-1)+0\times2+2\times 0}{\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}\times\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}}=\cfrac{1}{5}\)。

备注:两条异面直线所成角的范围\([0,\cfrac{\pi}{2}]\),两个向量所成角的范围\([0,\pi]\)。

时间: 2024-10-05 20:02:21

高中数学中的角的求解的相关文章

百钱百鸡,用高中数学优化算法

背景介绍 学习算法的道路上总会有各种各样的感受,偶然间碰到一个源自我国的算法问题,百钱百鸡问题,貌似很经典的问题了,可是我才刚刚知道,感觉自己太LOW了.题目是出自古代的一本叫做算经的书,原文是文言文就不往出贴了,贴了也看不懂,说大家能听懂的话就是: 有公鸡,母鸡,小鸡三种鸡,公鸡5块钱一只,母鸡三块钱一只,小鸡一块钱三只,要求用一百块钱买上面三种鸡(都要有),并且三种鸡总数是一百只,要求所有的解法. 分析 在感叹古人物价的同时,思考题目,其实很简单,只需要满足两个条件: 公鸡 + 母鸡 + 小

高中数学排列组合

一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有种不同

数学中常用几何画板绘制椭圆

圆锥曲线是高中数学的重点和难点,也是历来高考的必考内容,所以对于高中生来说,弄懂圆锥曲线这块难啃的骨头,是很有必要的.其中要熟练掌握的圆锥曲线之一就是椭圆,它是圆锥与平面的截线,其实要想画出椭圆,其方法不止一种,下面就一起来通过几何画板教程学学椭圆的五种画法. 方法一.利用椭圆第一定义构造椭圆 椭圆第一定义:平面内到两个定点的距离之和等于定长2a(a>0)的点的轨迹就是椭圆,按照此定义可画出椭圆,具体步骤如下: 1.单击“圆工具”,在画板的适当位置任意画一个圆,将圆心的标签改为F1.单击“点工具

腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-10

课程链接:目标2017高中数学联赛基础班-2(赵胤授课) 1. 设 $a_1, a_2, \cdots, a_n\in\mathbf{R}$, 证明: $$\sqrt[3]{a_1^3 + a_2^3 + \cdots + a_n^3} \le \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}.$$ 解答: $$\left(\sum a_i^3\right)^2 \le \sum a_i^2 \cdot \sum a_i^4 \le \sum a_i^2 \cdot \

腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-7

课程链接:目标2017高中数学联赛基础班-2(赵胤授课) 1. 解函数方程: $$f(x) + f\left({1\over x}\right)\lg x = b^2,$$ 其中 $x\in\mathbf{R^+}$, $b > 0$, $b\ne1$. 解答: $$\begin{cases}f(x) + f\left({1\over x}\right)\lg x = b^2\\ f({1\over x}) + f(x)\lg{1\over x} = b^2\end{cases}\Rightar

高中数学视频实时互动辅导,省时高效(可自组小组课)

[关于视频互动课的优势] ① 通过专用的高清视频互动客户端,老师和学生之间都可以实时进行语音.视频的沟通和交流,同时客户端还有课件演示.指定程序界面共享等直观形象的教学工具,让一些比较难理解.难解释的问题直观化.形象化. ② 免费提供高清教学专用摄像头,上课时老师能实时看到学生的解题细节,哪里有问题一目了然,从而给予及时指导和纠正,这是传统班课很难做到的. ③ 学生免去了来回路上奔波的时间,学习效率更高. ④ 平时也可以通过这种视频互动的方式答疑(免费),效果更好. 其实视频互动课对于有学习意愿

腾讯课堂目标2017高中数学联赛基础班-2作业题解答-6

课程链接:目标2017高中数学联赛基础班-2(赵胤授课) 1. 设 $f(x) = \sqrt{x^2 + c}$. 求 $f(x)$ 之 $n$ 次迭代. 解答: 直接求迭代函数: $$f^{(2)}(x) = \sqrt{\left(\sqrt{x^2 + c}\right)^2 + c} = \sqrt{x^2 + 2c},$$ $$f^{(3)}(x) = \sqrt{\left(\sqrt{x^2 + 2c}\right)^2 + c} = \sqrt{x^2 + 3c},$$ $$\

数学中的生物学特性----遗传和变异

数学中的生物学特性----遗传和变异 说明:此篇博文,是授课偶得,纯属玩笑之举,脱离了数学的严密性,不过从其他学科来解读数学,也不失一乐,读完也许能更深的体会到万事万物都是有关联的. 学习过生物学的人大抵都知道,子代会接受父代的遗传,当然也会有部分的变异.用这一观点我们也能解释数学上的函数问题. 比如,已知函数\(f(x)=x\)和函数\(g(x)=\cfrac{1}{x}\),都是我们高中阶段需要熟练掌握的函数之一,那么函数\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}=f(x)+g(x)\),所

【数学】【其他】数学中常用符号

写在前面 对于数学中的一些符号的解释 整理自网络 持续更新 来源标注为主要来源,个人整理的部分很多 目录 Δ和δ ζ η Θ和θ λ μ Ο Π和π ∑和σ Φ和φ ψ Ω和ω MOD ≡ | ∫  ∮ n! !n Δ和δ /'delt?/ Alt+小键盘42660 Alt+小键盘42692 Δ在数学中,在一元二次方程ax2+bx+c == 0(a≠0)或二次函数y == ax2+bx+c(a≠0)中代表b2-4ac Δ在物理学中,表示物理量的变化 δ在数学和科学,表示变数的变化 δ也表示数学中