堆排序、优先队列

1.堆排序

a.堆的定义

n个元素序列{k1,k2,...,kn}当且仅当满足以下关系时,称之为堆。

ki<=k2i且ki<=k2i+1 （小根堆)
ki>=k2i且ki>=k2i+1 （大根堆)

以下针对最大堆

b.维护堆的性质

Max-Heapify通过让A[i]的值在最大堆中"逐级下降"(A[i]的值小于其左右孩子的值时),从而使得以i为根结点的子树重新遵循最大堆性质.

Max-Heapify(A,i)
    l = left(i)
    r = right(i)
    if l <= A.heap-size and A[l] > A[i]
        largest = l
    else largest = i
    if r <= A.heap-size and A[r] > A[largest]
        largest = r
    if largest ≠ i
        swap(A[i],A[largest])
        Max-Heapify(A,largest)

时间复杂度:O(lgn)

c.建堆

子数组A(n/2+1..n)中的元素都是树的叶子结点,每个叶结点都可以看成只包含一个元素的堆.Build-Max-Heap对树中的其他结点都调用一次Max-Heapify.

Build-Max-Heap(A)
    A.heap-size = A.length
    for i = A.length/2 downto 1
        Max-Heapify(A,i)

时间复杂度:O(n)

d.堆排序

Heap-Sort(A)
    Build-Max-Heap(A)
    for i = A.length downto 2
        swap(A[1],A[i])
        A.heap-size = A.heap-size -1
        Max-Heapify(A,1)

时间复杂度:O(n*lgn)

2.优先队列

具体的算法就不谈了,来看下C++中的优先队列如何使用.

std::priority_queue
Defined in header <queue>
template<
    class T,
    class Container = std::vector<T>,
    class Compare = std::less<typename Container::value_type>
> class priority_queue;

默认是最大优先队列.可以提供Compare参数来实现最大优先队列.

Compare = greater<T>

Example:

#include <functional>
#include <queue>
#include <vector>
#include <iostream>

template<typename T> void print_queue(T& q) {
    while(!q.empty()) {
        std::cout << q.top() << " ";
        q.pop();
    }
    std::cout << ‘\n‘;
}

int main() {
    std::priority_queue<int> q;

    for(int n : {1,8,5,6,3,4,0,9,3,2})
        q.push(n);

    print_queue(q);

    std::priority_queue<int, std::vector<int>, std::greater<int> > q2;

    for(int n : {1,8,5,6,3,4,0,9,3,2})
        q2.push(n);

    print_queue(q2);
}

对于自定义类型

如果重载了比较运算符

priority_queue<T> Q//最大优先队列
priority_queue<T,vector<T>,greater<T>> Q//最小优先队列

如果没有重载比较运算符,则需要提供一个Comparator传给Compare参数

//最大优先队列比较器
struct comp
{
    bool operator () (T &a,T &b) const {
        return a.key < b.key;
    }
};
//最小优先队列比较器
struct comp
{
    bool operator () (T &a,T &b) const {
        return a.key > b.key;
    }
};
//使用
priority_queue<T,vector<T>,comp> Q

参考:1,2,3