题意：n个城市，m条路，每条路有个危险值，要使得从s走到t的危险值最小。回答q个询问，每个询问有s和t，要求输出从s到t最小的危险值。（5万个点，10万条边）
思路：其实要求的是任意点对之间的最小瓶颈路的权值。
先对图求一次MST，那么所有的瓶颈路都在上面。但是q<=5万，即使预先求出所有点对，也需要O(n*n)，太大了。如果对于每个询问才来找答案，这又更慢了。所以得优化。
优化方案（1）：先求出生成树，对于每次询问的两个点，求一次LCA，两个点到LCA所经过的边其中一条边就是答案。很不幸，如果树很稀疏，树枝又很长，那么每次求LCA相当于O(n)的复杂度。
优化方案（2）：鉴于方案（1），要解决的是树枝很长的情况，由于要求的是区间最值，那么类似于RMQ问题了，只是在树上而不是序列中而已。假如将某个点p到其LCA之间的一条链作为一个区间的话，那么这段区间的最值，就是p到(p+LCA)/2与(p+LCA)/2到LCA两个区间的最值再取最值。这又变成了类似于ST算法了。
具体做法可以这样：
（1）预处理每个节点p到p+1,p+2...直到树根的这段区间的最值，那么得到m[p,p+1]，m[p,p+2]，m[p,p+4]...。大小是以2的幂为单位的。若某个点到树根的距离并不是刚好为2的整数次幂，那么这段放弃掉，因为总有点到树根的距离是恰好满足的，那么必要时，找这个区间即可。
（2）在查询时，两节点分别到他们的LCA所经过的边不断更新答案。
此代码用于优化求LCA的速度，以及从p到LCA这段区间的最值。
1 void preprocess(int n)//预处理2的幂次大小的区间内的最值
2 {
3 for(int i=1; i<=n; i++) //初始化，及先记录到父亲的距离
4 {
5 anc[i][0]=far[i];
6 maxcost[i][0]=cost[i][far[i]];
7 for(int j=1; (1<<j)<n; j++)
8 anc[i][j]=-1;
9 }
10 for(int j=1; (1<<j)<n; j++)
11 {
12 for(int i=1; i<=n; i++ )
13 {
14 int e=anc[i][j-1];
15 if(e>0)
16 {
17 anc[i][j]=anc[e][j-1]; //将2的j次幂，分成两个2的j-1次来组成。
18 maxcost[i][j]=max(maxcost[i][j-1],maxcost[e][j-1]);
19 }
20 }
21 }
22 }
23
24
25
26 int query(int p,int q) //先找LCA，再求答案
27 {
28 int tmp, log, i;
29 if(level[p]<level[q]) swap(p,q);//保持p更深一些
30
31 for(log=1; (1<<log)<=level[p]; log++);//统计最深要几层
32 --log;
33 int ans=-1;
34 for(int i=log; i>=0; i--)//将p提到与q同层
35 {
36 if(level[p]-(1<<i)>=level[q])//这一步关键，只要多于level[q]的部分都会被抹去
37 {
38 ans=max(ans, maxcost[p][i]);
39 p=anc[p][i];
40 }
41 }
42
43 if(p==q) return ans;//LCA为q
44
45 for(int i=log; i>=0; i--)//同时往LCA方向更新，直到成为LCA的孩子
46 {
47 if(anc[p][i]>0 && anc[p][i]!=anc[q][i] )
48 {
49 ans=max(ans, maxcost[p][i]);
50 p=anc[p][i];
51 ans=max(ans, maxcost[q][i]);
52 q=anc[q][i];
53 }
54 }
55 ans=max(ans, cost[p][far[p]]);//还有一层，别忘了
56 ans=max(ans, cost[q][far[q]]);
57
58 return ans;
59 }
主要优化代码注释
1 #include <bits/stdc++.h>
2 #define INF 0x7f7f7f7f
3 #define pii pair<int,int>
4 #define LL long long
5 using namespace std;
6 const int N=100010;
7 int a[N], b[N], w[N], seq[N]; //求MST用的
8 int pre[N], level[N], far[N], maxcost[N][100], anc[N][100];
9 int vis[N];
10 vector<int> vect[N]; //建树时用
11 map<int,int> cost[N];
12
13 int cmp(int a,int b){return w[a]<w[b];}
14 int find(int x){return pre[x]==x? x: pre[x]=find(pre[x]);} //并查集
15
16
17
18 void DFS(int x,int flo)
19 {
20 vis[x]=1;
21 level[x]=flo; //记录在哪一层
22 for(int i=0; i<vect[x].size(); i++)
23 {
24 int t=vect[x][i];
25 if(!vis[t])
26 {
27 far[t]=x; //用孩子索引父亲
28 DFS(t, flo+1);
29 }
30 }
31 }
32
33 void preprocess(int n)
34 {
35 for(int i=1; i<=n; i++) //对于每个点
36 {
37 anc[i][0]=far[i];
38 maxcost[i][0]=cost[i][far[i]]; //与父亲的距离。
39 for(int j=1; (1<<j)<n; j++) //初始化祖先为-1
40 anc[i][j]=-1;
41 }
42 for(int j=1; (1<<j)<n; j++) //仅需到n-1即可。
43 {
44 for(int i=1; i<=n; i++ )
45 {
46 int e=anc[i][j-1];
47 if(e>0)
48 {
49 anc[i][j]=anc[e][j-1]; //将2的j次幂，分成两个2的j-1次来组成。
50 maxcost[i][j]=max(maxcost[i][j-1],maxcost[e][j-1]);
51 }
52 }
53 }
54 }
55
56
57 int cal(int n,int m)
58 {
59 memset(maxcost, 0, sizeof(maxcost));
60 memset(far, 0, sizeof(far));
61 memset(level, 0, sizeof(level));
62 memset(anc, 0x8f, sizeof(anc));
63 //kruscal
64 for(int i=0; i<=n; i++)
65 {
66 pre[i]=i;
67 cost[i].clear();
68 vect[i].clear();
69 }
70 for(int i=0; i<m; i++)
71 {
72 int u=find( a[seq[i]] );
73 int v=find( b[seq[i]] );
74 if(u!=v)
75 {
76 pre[u]=v;
77 vect[a[seq[i]]].push_back(b[seq[i]]);
78 vect[b[seq[i]]].push_back(a[seq[i]]);
79 cost[a[seq[i]]][b[seq[i]]]=w[seq[i]]; //因为目前还不知道谁是父亲
80 cost[b[seq[i]]][a[seq[i]]]=w[seq[i]];
81 }
82 }
83 //dfs
84 memset(vis, 0, sizeof(vis));
85 DFS(1, 0);
86 preprocess(n);
87 return 0;
88 }
89
90
91
92 int query(int p,int q) //先找LCA，再求答案
93 {
94 int tmp, log, i;
95 if(level[p]<level[q]) swap(p,q);
96
97 for(log=1; (1<<log)<=level[p]; log++);
98 --log;
99 int ans=-1;
100 for(int i=log; i>=0; i--)
101 {
102 if(level[p]-(1<<i)>=level[q])
103 {
104 ans=max(ans, maxcost[p][i]);
105 p=anc[p][i];
106 }
107 }
108
109 if(p==q) return ans;
110
111 for(int i=log; i>=0; i--)
112 {
113 if(anc[p][i]>0 && anc[p][i]!=anc[q][i] )
114 {
115 ans=max(ans, maxcost[p][i]);
116 p=anc[p][i];
117 ans=max(ans, maxcost[q][i]);
118 q=anc[q][i];
119 }
120 }
121 ans=max(ans, cost[p][far[p]]);
122 ans=max(ans, cost[q][far[q]]);
123 return ans;
124 }
125
126 int main()
127 {
128 freopen("input.txt", "r", stdin);
129 int n, m, q, x, y, k=0;
130
131 while(~scanf("%d%d",&n,&m))
132 {
133 if(k!=0) printf("\n");//格式
134 k++;
135 for(int i=0; i<m; i++)
136 {
137 seq[i]=i; //边号
138 scanf("%d%d%d", &a[i], &b[i], &w[i]);
139 }
140 sort(seq, seq+m, cmp);
141 cal(n, m);
142 scanf("%d",&q);
143 for(int i=0; i<q; i++)
144 {
145 scanf("%d%d",&x,&y);
146 printf("%d\n", query(x,y));
147 }
148 }
149 return 0;
150 }
AC代码
时间： 2024-08-04 01:06:35