多面体和优化有很大的关系，很多实际问题都可以形式化成和多面体或多面体函数相关的问题。此外，若一个问题的约束是多面体，则往往可以设计出比一般凸约束问题解法更好的优化算法，之前我们已经碰到过一些：
- 凹函数f
若在凸集C
上不是常数函数，那么只可能在C
的相对边界上取得最小值(命题1.3.4)。
- 线性函数或凸二次函数f
在多面体C
上有下界，那么f
可在C
上取得最小值(命题1.4.19)。
这一节我们更深入地介绍多面体在优化里的应用，尤其是线性规划(线性函数在多面体上的最小化问题)。线性规划里有一个经典结果：若多面体C
至少有一个极点且线性函数f
在C
上可取得最小值，那么该最小值必然可在C
的某些极点上取到(当然也可以在非极点上取到)。事实上，这是下面这个命题的特例，这里f
是凹函数，C
是闭凸集。
命题2.4.1：集合C
是Rn
的闭凸子集且至少有一个极点，若凹函数f:C?R
在C
上可取得最小值，那么该最小值必然可在C
的某些极点上取到。
证明：设x?
∈C
且f
在x?
处取得最小值。若x?
∈ri(C)
，由命题1.3.4知f
是C
上的常数函数，那么显然f
可在C
的某些极点上取到最小值。若x?
?ri(C)
，由命题1.5.6的结论知存在超平面H1
正常分离x?
和C
。由于x?
∈C
，故H1
包含x?
，于是H1
不包含C
，那么集合C∩H1
的维度比C
小。
若x?
∈ri(C∩H
1
)
，那么f
是C∩H1
上的常数函数，那么f
在C∩H1
的某些极点上取到最小值(由于C
有极点，由命题2.1.2知C
不包含直线，那么C∩H1
也不会包含直线，再由命题2.1.2知C∩H1
至少有一个极点)，又由命题2.1.1知这些极点也是C
的极点，也即f
可在C
的某些极点上取到最小值。若x?
?ri(C∩H
1
)
，则存在超平面H2
正常分离x?
和C∩H1
，那么集合C∩H1
∩H
2
的维度比C∩H1
小。
若x?
∈ri(C∩H
1
∩H
2
)
，那么f
是C∩H1
∩H
2
上的常数函数，如此不断下去(由于每引进一个超平面都会使得集合C∩H1
∩…
的维度降低，最多引进n
个超平面该过程就会停止，最终集合变成单点集)，直到x?
是某个集合C∩H1
∩?∩H
k
的相对内部点，那么f
是C∩H1
∩?∩H
k
上的常数函数，故此时f
即在C∩H1
∩?∩H
k
的极点上取得了最小值，再不断地利用命题2.1.1的结论可知这些极点也是C
的极点，也即f
可在C
的某些极点上取到最小值。
命题2.4.2[线性规划基本定理]：若多面体P
至少有一个极点，则在P
上有下界的线性函数f
必然可在P
的某些极点上取到最小值。
证明：由于f
在P
上有下界，那么由命题1.4.19知f
在P
上可取得最小值，由命题2.4.1知结论成立。
上图展示了线性规划的两种可能：
- 约束集合P
有极点，那么此时目标线性函数要么在P
上无下界，要么在P
的极点上取得最小值。例如设P =[0,∞)
，那么目标线性函数1?x
在P
的极点0
处取得最小值；目标线性函数0?x
在P
的任意一点处都取得最小值；目标线性函数?1?x
在P
上无下界，故在P
上无法取得最小值。
- 约束集合P
没有极点，那么由命题2.1.2知P
包含直线，那么P
的回收锥的线性空间L
P
的维度大于0
，若目标线性函数在P
有下界，那么由命题1.4.19知f
在P
上取得最小值。又f
在L
的所有方向上都必须是常数函数(否则f
无界)，故取得最小值的点集是线性空间为L
的一个多面体，故取得最小值的点集是无界的。例如设P=R
，那么目标线性函数1?x
在P
上无下界，故在P
上无法取得最小值；目标线性函数0?x
在P
上取得最小值的点集就是P
。