九度oj 题目1085：求root(N, k) 清华2010年机试题目

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这道题我苦思冥想了很久，最令我头疼的就是数据的范围，2000000000的2000000000次方该有多大，如何去计算?每次都要求N的k进制表示的各位数字之和，那么一要取模，二要求除法，这么大的数怎么做。题目考的一定不是大数的运算，肯定存在某种规律，那么这种规律是什么？

在思考的过程中，首先考虑了 1. (a*b)mod N = (a * (b mod N)) mod N;其次也考虑到了

每次都要求N的k进制表示的各位数字之和,那么最后的那个和就是 2. N mod (k-1)  (这个是凭找规律看出来的)

但接下来自己的思路就比较混乱，不知道该怎么处理x的y次方的问题，想了很久也没有想出来。

最后忍不住看了看其他人的题解，他们确实求了x的y次方，而且用的是反复平方法来求，并且在求的过程中直接做取模运算，避免了数据溢出。差距就在这里。代码如下

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3
 4 typedef long long ll;
 5
 6
 7 int root(ll x, ll y, ll k) {
 8     ll mi = 1;
 9     while (y) {
10         if (y & 1) {
11             mi = (mi*x) % k;
12         }
13         x = (x * x)%k;
14         y = y >> 1;
15     }
16     return mi;
17 }
18
19 int main() {
20     ll x, y, k;
21     while (scanf("%lld %lld %lld", &x, &y, &k) != EOF) {
22         ll ans = root(x, y, k-1);
23         if (ans == 0) {
24             ans = k - 1;
25         }
26         printf("%lld\n", ans);
27     }
28     return 0;
29 }

关于第2点

　　　 N=a0+a1*k+a2*k^2+……an*k^n

      N‘=a0+a1+a2+……+an

      N-N‘=a1*(k-1)+a2*(k-1)^2+a3*(k-1)^3+......+an*(k-1)^n

      (N-N‘)%(k-1)=0

      (N‘-N‘‘)%(k-1)=0

     .....

      (N(r-1)-N(r))%(k-1)=0

      相加得(N-N(r))%(k-1)=0

      N(r)=N%(k-1)

      故(x^y)%(k-1)就是我们要求的。

      当(x^y)%(k-1)=0时，注意结果为k-1