GMA Round 1 最短距离

传送门

最短距离

　　在椭圆C:$\frac{x^2}{20^2}+\frac{y^2}{18^2}=1$上作两条相互垂直的切线，切线交点为P，求P到椭圆C的最短距离。结果保留6位小数。

　　设椭圆方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，结论是两垂直切线交点P的轨迹为$x^2+y^2=a^2+b^2$。当切线斜率不存在或为0时易验证。否则设P坐标为$(x_0,y_0)$，两条直线　$l_1:y=k(x-x_0)+y_0$，$l_2:y=-\frac{1}{k}(x-x_0)+y_0$为椭圆的两条切线。

　　将$l_1$与$l_2$分别与椭圆联立，并另其判别式为0，可得下列两式：

　　$$2kx_0y_0-k^2x_0^2+b^2-y_0^2+k^2a^2=0$$ $$-2kx_0y_0-x_0^2+k^2b^2-k^2y_0^2+a^2=0$$

　　将两式相加得$(1+k^2)(a^2+b^2-x_0^2-y_0^2)=0$，即$x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$

　　这样一来P的轨迹是以$\sqrt{a^2+b^2}$为半径的圆，距离最短时P在x轴上，距离为$\sqrt{a^2+b^2}-a$

　　定位：简单题

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