Description
Alice想要得到一个长度为n的序列,序列中的数都是不超过m的正整数,而且这n个数的和是p的倍数。Alice还希望
,这n个数中,至少有一个数是质数。Alice想知道,有多少个序列满足她的要求。
Input
一行三个数,n,m,p。
1<=n<=10^9,1<=m<=2×10^7,1<=p<=100
Output
一行一个数,满足Alice的要求的序列数量,答案对20170408取模。
Sample Input
3 5 3
Sample Output
33
求至少有一个质数的方案可以用总方案减去不含质数的方案。
先把1~m的质数筛出来,观察p特别小,考虑每个数%p的值对答案的贡献。
设F[i][j]表示从%p=i到%p=j的方案数,这个矩阵乘1次相当于向序列里多塞了个数,于是这道题变成了矩阵乘法。
然后发现f[i][j]=f[i+1][j+1],因此只需要对每个1~m中的i,f[0][i%p]++即可,剩下的可以通过平移得到。
代码:
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll mod=20170408; int n,m,p,prime[7000050],cnt; bool vis[20000050]; struct Mat { ll v[105][105]; Mat() {memset(v,0,sizeof(v));} Mat operator*(const Mat a) const { Mat ans; int i,j,k; for(i=1;i<=p;i++) for(j=1;j<=p;j++) for(k=1;k<=p;k++) (ans.v[i][j]+=v[i][k]*a.v[k][j])%=mod; return ans; } }A,B; Mat pow(Mat x,int y) { Mat I; int i; for(i=1;i<=p;i++) I.v[i][i]=1; while(y) { if(y&1) I=I*x; x=x*x; y>>=1; } return I; } void init() { register int i,j; vis[1]=1; for(i=2;i<=m;i++) { if(!vis[i]) { prime[++cnt]=i; } for(j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=m;j++) { vis[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) break; } } } int main() { int i,j; scanf("%d%d%d",&n,&m,&p); init(); for(i=1;i<=m;i++) { A.v[p][(i-1)%p+1]++; if(vis[i]) B.v[p][(i-1)%p+1]++; } for(i=p-1;i;i--) { for(j=1;j<=p;j++) { A.v[i][j]=A.v[i+1][j%p+1]; B.v[i][j]=B.v[i+1][j%p+1]; } } printf("%lld\n",(pow(A,n).v[p][p]-pow(B,n).v[p][p]+mod)%mod); }
原文地址:https://www.cnblogs.com/suika/p/8832021.html
时间: 2024-11-05 16:10:43