由100盏灯想到的（一）

原题目地址：http://www.cnblogs.com/DeanChopper/p/4772593.html

　　大厅里有100盏灯，每盏灯都编了号码，分别为1-100。每盏灯由一个开关来控制。（开关按一下，灯亮，再按一下灯灭。开关的编号与被控制的灯相同。）开始时，灯是全灭的。现在按照以下规则按动开关。
第一次，将所有的灯点亮。
第二次，将所有2的倍数的开关按一下。
第三次，将所有3的倍数的开关按一下。
以此类推。第N次，将所有N的倍数的开关按一下。
问第100次按完以后，大厅里还有几盏灯是亮的。

网上找了一下，此题还有其他的表述方式类似：
　　礼堂里有100盏电灯,编号1－100,每盏灯由一根灯绳控制,拉一下改变状态.开始灯全是灭的,100个同学依次进入礼堂,

第一个学生把1的倍数的灯绳拉一下,灯全亮；

接着第二个同学把2倍数的灯绳拉一下；

第三个同学把3倍数的灯绳拉一下······第100个学生把100的倍数的灯绳拉一下.最后,礼堂里哪些灯是亮的?

1，暴力解法：

暴力解法一般是思路上最接近题意的，按题目要求的步骤直接求解，暴力求解一般计算量也是最大的。

我一般都是先用笨办法计算出结果，再想办法优化。现给出C#暴力解法，得出最后的结果，代码如下：

 1     class Program {
 2
 3         //100盏灯，默认全是关着的
 4         static bool[] lights = new bool[100];
 5
 6         static void Main(string[] args) {
 7             //100次开关测试
 8             for (int i = 1; i <= 100; i++) {
 9                 ChangeState(i);
10             }
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12             //开关完成，打印最后的结果
13             Console.WriteLine("最后亮灯的还有{0}盏。", lights.Count(r => r));
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15             //分别打印每盏灯
16             for (int i = 0; i < 100; i++) {
17                 if (lights[i]) {
18                     Console.WriteLine(i + 1);
19                 }
20             }
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22             Console.WriteLine("实验结束！");
23             Console.ReadKey();
24         }
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26         /// <summary>
27         /// 开关灯
28         /// </summary>
29         /// <param name="x"></param>
30         private static void ChangeState(int x) {
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32             for (int i = 0; i < 100; i++) {
33                 if ((i + 1) % x == 0) {
34                     lights[i] = !lights[i];
35                 }
36             }
37
38         }
39
40     }

上面的解法很容易就能求出结果，各位可以先自行测试一下。

2.优化

　　暴力解法可以得到结果，但这肯定是不能让人满意的。现在回过头来再分析这个题。

第一次操作，每个灯的开关都被按一次；

第二次操作，2的倍数的开关都被按一次；

.....

下面列出前十次，前十个数的具体情况

可以看到，最下面一列是操作的次数，操作次数为奇数次的，灯最后是打开的状态，是偶数次，则为关闭。

被操作的规律如下:

灯1:1

灯2:1，2

灯3:1，3

灯4:1，2，4

...

依次写下去，就可以发现，每个灯被操作的步骤，其实为此灯编号的因数。

如灯36被操作的步骤:1，2，3，4，6，9，12，18，36

此时题目转化为求[1-100]100个数中，因数个数为奇数的数的数量是多少。

因为最近在学习Python，求因数的算法用python 语言给出，3.4 版本运行成功 如下：

 1 def getZYS(n):
 2     x=2
 3     zys=[]
 4     zys.extend([1,n])
 5     while x*x<=n:
 6         if n%x==0:
 7             if x*x==n:
 8                 zys.extend([x])
 9             else:
10                 zys.extend([x,n//x])
11         x+=1
12     return zys
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14 n=input(‘请输入一个正整数:‘)
15 n=int(n)
16 lb=getZYS(n)
17 lb=sorted(lb)
18 print(lb)
19             

此时，题目的解法已经第一次被推广，在一定程度上，我们已经可以解决更多类似的问题。推广后的解法请自行试着去解决。

3.就事论事

求一个正整数的质数的过程，如上面代码所示，其实就是对某个数平方根以下的数试着求余，但具体到本题而言，转化一下描述为，怎样快速判断一个数的因数个数是否为奇数。

请看上面的代码，第7-10行，如果能深刻理解这几行，上面所述的题目会有更快的解法。

我们注意到，求一个数因数的过程，是从1开始到其平方根，除平方根外，其他的因数都是成对的出现！，也就是，只有平方数的因数是奇数个！，100以内的平方数只有10个，分别是1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，所以上述题目的最后结果是10个灯最后是亮着的。

优化完的代码，注释要多一些，代码本身将非常之少，因为100的平方根是10，所以最后亮10盏灯。

你明白了没有？

附：

求一个正整数的因数的个数的研究，最初来源于一个Python群的入群题目：

求1<=i<=10**12范围内所有d(i)的和的末12位，d(i)表示i的正约数的和，i为整数

这个题目可以试着解一下

未完待续）