题目
已知函数 \(f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\), 则 \(f^{(3)}(0)=\)
解析
方法一
本题可以借助函数奇偶性的相关性质解出。
由于：
\(f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\)
\(f(-x)=\frac{1}{1+(-x)^{2}}=\frac{1}{1+x^{2}}\)
因此：
\(f(x)=f(-x)\)
于是，我们知道，函数 \(f(x)\) 是一个偶函数。
接下来，根据“偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数”的规律，我们知道，函数 \(f^{(3)}(x)\) 是一个奇函数。
又由于，如果一个奇函数 \(g(x)\) 在原点处(\(x=0\))有定义，则 \(g(x)=0\), 因此有：
\(f^{(3)}(0)=0\)
综上可知，本题的答案就是：\(0\)
方法二
本题也可以借助泰勒级数计算。
本题要求解的是在 \(x=0\) 时，\(f(x)\) 的三次导函数的函数值。我们知道，麦克劳林级数就是函数在 \(x=0\) 处的泰勒级数，是泰勒级数的一个特例。于是，这里我们可以使用麦克劳林级数对原式进行级数展开。
麦克劳林级数中有一个关于几何级数的公式，如下：
\(\frac{1}{1-x}=\sum_{0}^{\infty}x^{n}, |x|<1\)
当我们把上述公式中的 \(x\) 替换成 \(-x^{2}\) 后，\(f(x)\) 就可以使用上述几何级数的公式表达，如下：
\(f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}\)
之后，对 \(f(x)\) 求导：
\(f'(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot x^{2n-1}\)
\(f''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot x^{2n-2}\)
\(f'''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot 2n-2 \cdot x^{2n-3}\)
于是，\(f'''(0)=0\)
综上可知，本题的答案就是：\(0\)
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原文地址：https://www.cnblogs.com/zhaokaifeng/p/11015946.html