图论基础 ， 最短路
图的简单概念
顶点 （Vertex）， 边 （Edge）
有向图 ， 无向图 ， 无向图是一种特殊的有向图
度，有向图分为出度 和 入度，无向图的度，代表 连出去的边
顶点和边都可以具有属性，称为权重，顶点称为 点权，边 称为 边权
稠密图 边很多，大约是 顶点的平方
稀疏图 边很少 ，
重边（平行边），自环，
路径：从一给顶点到达另一个顶点称为一条路径
路径中边的数量称为路径长度，如果路径中的顶点均不重复，称为简单路径
如果路径中的第一个顶点 \(v_i\) 和最后一个顶点 \(v_j\) 是同一个顶点，则称这条路径为回路
连通 ： 两个点连通，指 u 和 v 相互可达
图连通 ：无向图 任意两个节点 相互可达 ，
强连通 ： 有向图 任意 两个节点 相互可达
图的存储结构：
- 邻接矩阵 （二维数组） 对于 n 个顶点，需要 \(O(n^2)\) 空间
- 严重浪费空间，适用于 稠密图 ， 或者是 ，题目的输入 已矩阵的方式给出
- G[N] [N]
#include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int N = 1e3 + 233,INF = 0x3f3f3f3f; //INF 最大值 int g[N][N]; int main(){ int n,m,x,y,w; memset(g,0x3f,sizeof g); // 初始化图，全都不联通 cin >> n >> m; while(m--){ cin >> x >> y >> w; g[x][y] = w; // 单向边，x to y ，权重 为 w g[y][x] = w; // 两条都写，等于双向边， 图中都为双向边，就成无向图了。 } for(int i = 1;i <= n; ++i){ for(int j = 1;j <= n; ++j){ cout << g[i][j] <<" "; } cout << endl; } return 0; }
- 邻接表
对图中的每个顶点都建立一个单链表，存储这个顶点的连出的点
- vector Adj[N];
- vector 自身底层函数的缺陷， 每次扩大空间，都会copy一边，然后扩大原来空间的两倍
- vector G[]：
优点：
1.写起来比链式前向星快（大概
2.每个顶点的出边都是用vector存储的，方便执行一些STL中的函数（比如排序）
缺点
1.STL会略慢一些
2.浪费空间，由于vector申请空间的方式是两倍扩容，遇到卡空间的题目的时候会跪#include <iostream> #include <cstring> #include <vector> using namespace std; const int N = 1e3 + 233,INF = 0x3f3f3f3f; struct edge { int node ,weight; edge(int node_,int weight_)://构造函数，让我们可以直接给结构体赋值 node(node_),weight(weight_){} }; vector<edge> v[N]; int n,m; int main() { cin >> n >> m; while(m--) { int x,y,w; cin >> x >> y >> w; v[x].push_back(edge(y,w));//模拟链表，存边 //v[y].push_back(edge(x,w));//双向 } for(int i = 1;i <= n; ++i){ for(int j = 0;j < v[i].size(); ++j){ cout << i << " " << v[i][j].node <<" " << v[i][j].weight <<" "; } cout << endl; } return 0; }
- 链式前向星 （数组模拟邻接表）
- 先学会数组模拟链表，就会数组模拟邻接表了
- 避免了copy时间的浪费，非常快速
- 主要使用这种存图结构
前置知识，数组模拟链表(头插法)
#include <iostream> #include <cstring> #include <vector> using namespace std; const int N = 1e3 + 233,INF = 0x3f3f3f3f; int e[N],ne[N],h,idx; // head 表示头结点的下标 // e[i] 表示节点i的值 // ne[i] 表示节点i的next指针是多少 // idx 存储当前已经用到了哪个点 void init(){ // 初始化为头节点 为 -1 h = -1,idx = 0; } void add(int x){ e[idx] = x;// 保存x的值 到 idx 这个指针的位置 ne[idx] = h;// idx 的下一个指针 为 头节点 h = idx++; // 头节点 = idx 指针 ， idx ++ } int main(){ int n ,x; cin >> n; init(); while(n--){ cin >> x; add(x); } for(int i = h;i != -1; i = ne[i]){ cout << e[i] << " "; } return 0; }#include <iostream> #include <cstring> #include <vector> using namespace std; const int N = 1e3 + 233,INF = 0x3f3f3f3f; int e[N],ne[N],h[N],w[N],idx;//数组模拟邻接表， h代表 n个头节点 // e存每条边，ne指向下一条边，h是链表头，w是每个顶点的权重，idx是索引值 void add(int a,int b,int c){// 采用头插法 e[idx] = b; ne[idx] = h[a]; w[b] = c; h[a] = idx++; } int n,m; int main() { memset(h,-1,sizeof h);//初始化头节点，全为-1 int a,b,c; cin>>n>>m; while(m--) { cin >> a >> b >> c; add(a,b,c); // 单向边 //add(b,a,c) 双向 } for(int i = 0;i < n; ++i){ for(int j = h[i];j != -1;j = ne[j]){ int v = e[j]; cout << i <<" " <<v<<" "<<w[v]<<" "; } cout << endl; } return 0; }
图的遍历
DFS （求连通块），求欧拉回路 与 哈密顿回路
例题 ： https://vjudge.net/problem/UVA-572
- 用 dfs 朝 八个方向 搜 ，每找到一个 ，做一次标记，最后输出连通块的数目
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 233;
char g[N][N];
int n,m,ans;
int dx[8] = {0, 0,1,1, 1,-1,-1,-1}; // 方向数组
int dy[8] = {1,-1,0,1,-1, 0, 1,-1};
bool pd(int x,int y){ // 判断是否越界
if(x >= 1 && x <= m && y >= 1 && y <= n) return 1;
else return 0;
}
void dfs(int x,int y){ // dfs求连通块
for(int i = 0;i < 8; ++i){
int nx = x + dx[i];
int ny = y + dy[i];
if(pd(nx,ny) && g[nx][ny] == '@'){
g[nx][ny] = '*';
dfs(nx,ny);
}
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
while(cin >> m >> n){
if(m == 0 && n == 0) break;
memset(g,0,sizeof g);
ans = 0;
for(int i = 1;i <= m; ++i){
for(int j = 1;j <= n; ++j)
cin >> g[i][j];
}
for(int i = 1;i <= m; ++i){
for(int j = 1;j <= n; ++j){
if(g[i][j] == '@'){
ans++; // 连通块个数++
g[i][j] = '*';
dfs(i,j);
}
}
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}BFS （边权为 1 的最短路算法 ，队列实现 ）
例题 ： https://vjudge.net/problem/OpenJ_Bailian-3752
- 用队列 扩展 ，如果找到 出口，直接跳出即可
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 50;
char g[N][N];
int r,c,ans;
int dx[4] = {0,0,1,-1};
int dy[4] = {1,-1,0,0};
bool vis[N][N]; // 判断是否访问过 点
struct Ponit{
int x,y,t; // x,y 坐标， t 代表当前的步数
Ponit(int x,int y,int t):x(x),y(y),t(t){} // 构造函数
};
bool pd(int x,int y){
if(x >= 1 && x <= r && y >= 1 && y <= c) return 1;
else return 0;
}
void bfs(){
queue<Ponit> q;
q.push({1,1,1}); // 初始化 队列
vis[1][1] = 1;
while(q.size()){
Ponit t = q.front();
q.pop();
for(int i = 0;i < 4; ++i){
int nx = t.x + dx[i];
int ny = t.y + dy[i];
if(nx == r && ny == c) {
ans = t.t + 1;
return ;
}
if(pd(nx,ny) && g[nx][ny] == '.' && !vis[nx][ny]){
vis[nx][ny] = 1;
q.push({nx,ny,t.t + 1});
}
}
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin >> r >> c;
for(int i = 1;i <= r; ++i){
for(int j = 1;j <= c; ++j)
cin >> g[i][j];
}
bfs();
cout << ans;
return 0;
}最短路径算法
由BFS启发 得到的最短路算法
因为，BFS采用的是队列的思想，因此，可以想出一种基于队列的算法来处理，边权为任意值的算法
单源最短路
Dijkstra O(n^2) 只能处理正权边
算法主要特点：以起点为核心，逐层向外扩展，每次都会取一个最近点继续扩展，直到取完所有点为止。
算法步骤：
初始化距离 dist[1] = 0, dist[i] = +INF，从起点开始。
循环迭代 n 次，
集合 s 代表，已经确定最短路的点
for i 0 ~ n { // 每次循环，可以确定一个 点的距离，n次 ，确定n个点
? 在dist 中 找到不在 s 中的距离源点最近的点 ， 设为 t // 基于贪心实现
? 把 t 加到 s里面去
? 用 t 来更新 ，其他所有点的距离 （ 更新 t 的出边 ） dist [x] > dist[t] + w;
}
例题 ：
HDU 2544
acwing 849. Dijkstra求最短路 I
习题推荐：
HDU 1874，2066，2112，2680，
POJ 1797
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
int g[N][N],n,m,dist[N];
bool st[N];
// dist[i] 代表 1 到 i的最短路
int dijkstra(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 循环 n 次，每次确定一个最短路的值
for(int i = 0;i < n; ++i){
int t = -1;
// 在所有 st 为 false的点中，找到 dist最小的点
for(int j = 1;j <= n; ++j){
if(!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])){
t = j;
}
}
st[t] = 1;
for(int j = 1;j <= n; ++j){
dist[j] = min(dist[j],dist[t] + g[t][j]);
// dist[t] + g[t][j] 表示， 1 - t的最短路 加上 t 到 j的距离，
// 等价于 1 - j 的距离
}
}
if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
else return dist[n];
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin >> n >> m;
memset(g,0x3f,sizeof g);
while(m--){
int a,b,c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = min(g[a][b],c); // a 和 b之间可能有重边，取最小的边为权值
}
cout << dijkstra();
return 0;
}堆优化dij
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 233;
typedef pair<int,int> PII;
int dist[N],e[N],w[N],ne[N],h[N],idx,n,m,x,y,z;
bool st[N];
void add(int a,int b,int c){
e[idx] = b,w[idx] = c,ne[idx] = h[a],h[a] = idx ++;
}
int dij(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap; // 初始化堆
dist[1] = 0;
heap.push({0,1});
while(heap.size()){
auto t = heap.top();// log n 找到最小的距离
heap.pop();
int distance = t.first,ver = t.second;
if(st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for(int i = h[ver];i != -1;i = ne[i]){
int j = e[i];
if(dist[j] > distance + w[i]){
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j],j});
}
}
}
if(dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
else return dist[n];
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0),cout.tie(0);
cin >> n >> m;
memset(h,-1,sizeof h);
while(m--){
cin >> x >> y >> z;
add(x,y,z);
}
cout << dij();
return 0;
}Bell-Ford O(ne) 可以处理负权边，不能处理负权回路，负权回路没有最短路
// 只能存边
算法步骤：
进行n-1次松弛操作
每次循环 m 次 ，更新每条边的距离
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 23;
int dist[510],st[510];
int n , m;
struct edge{
int from,to,w;
}e[N];
void bf(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1] = 0;
for(int i = 0;i < n-1; ++i){
for(int j = 0;j < m; ++j){
int a = e[i].from,b = e[i].to, t = e[i].w;
dist[b] = min(dist[b],dist[a] + t);
}
}
}
int main(){
cin >> n >> m;
for(int i = 0;i < m; ++i){
cin >> e[i].from >> e[i].to >> e[i].w;
}
bf();
for(int i = 1;i <= n; ++i){
cout << dist[i] <<" ";
}
return 0;;
}SPFA （队列优化版本的 Bell-Ford） 可以判断负环，容易被网格图卡，
dist[b] = min(dist[b],dist[a] + t); // 优化 dist awhile(队列不空 ) , {
取出队头 t
删除队头
删掉队头的标记
更新遍历 t 的所有出边 {
更新每个点的距离，如果更新成功，并且当前的点没有入队，
那么就加入队列
一个点只能入队一次，不能多次入队。
}
}#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 23;
int dist[510],st[510];
int e[N],ne[N],w[N],h[N],idx,n,m;
int a, b,c;
void add(int a,int b,int c){
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
void spfa(){
memset(dist,0x3f,sizeof dist);
dist[1] = 0;
st[1] = 1;
queue<int> q; // 存所有变小了的节点
q.push(1);
while(q.size()){
int t = q.front();
q.pop();
st[t] = 0;
for(int i = h[t];i != -1; i = ne[i]){
int j = e[i];
if(dist[j] > dist[t] + w[i]){
dist[j] = dist[t] + w[i];
//cnt[j] = cnt[t] + 1; 判断负环
//if (cnt[j] >= n) return true; 直接跳出
if(st[j] == 0){
st[j] = 1;
q.push(j);
}
}
}
}
}
int main(){
cin >> n >> m;
memset(h,-1,sizeof h);
for(int i = 0;i < m; ++i){
cin >> a >> b >> c;
add(a,b,c);
}
spfa();
for(int i = 1;i <= n; ++i){
cout << dist[i] <<" ";
}
return 0;;
}spfa https://blog.csdn.net/u011644423/article/details/38345631
? https://skywt.cn/posts/spfasummary/
POJ 1511，3259
多源汇最短路 DP思想，暴力 ,只能用 邻接矩阵存图
Floyed O(n^3), 还可以用来判断，图中的两个点是否相连
void floyd(){
for(int k = 1;k <= n; ++i){
for(int i = 1;i <= n; ++i){
for(int j = 1;j <= n; ++j){
g[i][j] = min(g[i][j],g[i][k] + g[k][j]);
}
}
}
}习题推荐：
HDU 1869，3665，1596，1734
POJ 1125
最短路的应用 ： 差分约束系统（不等式求解）
习题：
kuangbin最短路专题 ，https://vjudge.net/contest/324762
推荐阅读：
- 洛谷日报 ：
https://www.luogu.org/blog/wym483739/xue-tu-lun-ni-zhen-di-liao-xie-zui-duan-lu-ma-post
https://studyingfather.blog.luogu.org/some-coding-tips-for-oiers some tips for oiers
https://www.luogu.org/blog/chengni5673/tu-lun-di-xiao-ji-qiao-yi-ji-kuo-zhan 图论小技巧
https://www.luogu.org/blog/little-sun/dijkstra dij详解
https://www.luogu.org/blog/encore/io-you-hua-nei-suo-shi oi 优化
https://oi-wiki.org/graph oi-wiki-图论专题
原文地址：https://www.cnblogs.com/317zhang/p/11485681.html
时间： 2024-10-28 22:23:54