前言碎语
记得第一次读到关于二叉树的插入与平衡的操作，是在《大话数据结构》里，当然觉得好像有那么一回事，但毕竟纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。看懂了，不代表自己就真的会了。当时算是有一个感性认识吧，因为没有自己动手实践过，所以理解的并不深刻。
今天是重新学习，并且是自己动手实现了一遍，才算有了一点浅显的认识。
一点浅薄的认识
对于那些术语：左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋什么的，刚接触，确实有一种“哇，好厉害的样子~”的感觉，然而没有自己动手之前，一切都显得很虚无。
在自己动手理清楚了一遍后，我是这么来理解这四种操作的：
首先，这个左、右，说的都是结点的位置。
左单旋，即表示：左边的结点要发生旋转，那要旋到哪呢？旋到上一层的父结点那；
左右单旋，即表示：左结点的结点要发生旋转，旋到哪呢?先从右孩子的位置旋到它的父结点那，然后在作为左孩子再往上旋到上一层父结点。
所以，结点的实际旋转方向和这四个名词的左右是相反的。并且，每一次发生旋转，都是相对与最上层（也就是最终要旋转到的那一次父结点）为“相对点”，其实也就是根结点，最终返回的也是这个结点的位置。
具体的思路
具体的实现，结合代码来理解会好很多，所以，全文贴在这里：
/* AVL */
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
typedef int ElementType;
typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree;
struct AVLNode{
ElementType Data;
AVLTree Left;
AVLTree Right;
int Height;
};
AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A );
AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A);
AVLTree SingleRightRotation ( AVLTree A);
AVLTree DoubleRightLeftRotation ( AVLTree A);
AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X );
int Max( int a, int b )
{
return a > b ? a : b;
}
//获取树的高度
//只有一个结点，高度为0
int GetHeight( AVLTree A )
{
if ( A )
return Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
else
return 0;
}
//左单旋
//麻烦结点在发现者的左子树的左边
//根结点A，左子树结点B，BL插了两个
//解决：把B作为根结点，BR接到A左边，A接到B右边
AVLTree SingleLeftRotation( AVLTree A)
{
AVLTree B = A->Left;
A->Left = B->Right;
B->Right = A;
//还要记得更新各自结点的高度
A->Height = Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
B->Height = Max(GetHeight(B->Left), A->Height) + 1;
//此时B为根结点，返回B
return B;
}
//右单旋
AVLTree SingleRightRotation( AVLTree A)
{
AVLTree B = A->Right;
A->Right = B->Left;
B->Left = A;
A->Height = Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
B->Height = Max(A->Height, GetHeight(B->Right)) + 1;
return B;
}
//左单旋：把左边的子结点旋上来，左是指左边的结点（方向是相反的）
//右单旋：把右边的子结点旋上来
//且左单旋、右单旋都是“相对于”根结点而言的
//左右双旋（左结点的右结点要旋上来）
//麻烦结点在发现者左子树的右边（的左孩子或右孩子）
//即A现在是根，B是左子，C是B的右子
//先把C右旋上一层，再左旋上一层
AVLTree DoubleLeftRightRotation( AVLTree A )
{
A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
return SingleLeftRotation(A);
//左单旋和右单旋返回的都是“根结点”的位置
}
//右左双旋（右结点的左结点要旋上来）
AVLTree DoubleRightLeftRotation( AVLTree A )
{
A->Right = SingleLeftRotation(A->Right);
return SingleRightRotation(A);
}
//建立树的过程（如何插入）
AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X)
{
//先插入再调整，空树的情况下要申请一个空间
if ( !T ) {
T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
T->Data = X;
T->Height = 0;
T->Left = T->Right = NULL;
}
else if ( X < T->Data ) {
T->Left = Insert(T->Left, X);
//判断是否需要旋转的情况
//如果只是通过T的高度，无法判断要怎么旋转
//也不需要大于等于2
if ( GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == 2 ) {
if ( X < T->Left->Data )
//注意一点，不管单旋，还是双旋，都是以相对于发现者而言的的
T = SingleLeftRotation(T);
else
T = DoubleLeftRightRotation(T);
}
}
else if ( X > T->Data ) {
//先把结点插进去，然后再进行判断
T->Right = Insert(T->Right, X);
if ( GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == -2 ) {
if ( X > T->Right->Data )
T = SingleRightRotation(T);
else
T = DoubleRightLeftRotation(T);
}
}
//X == T->Data时不需要插入，说明重复了，二叉树里不考虑重复的结点
//最后，更新结点的高度
T->Height = Max(GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right)) + 1;
return T;
}这里有对应的一道实战题，也贴上：
Root of AVL Tree (25 point(s))
An AVL tree is a self-balancing binary search tree. In an AVL tree, the heights of the two child subtrees of any node differ by at most one; if at any time they differ by more than one, rebalancing is done to restore this property. Figures 1-4 illustrate the rotation rules.
Now given a sequence of insertions, you are supposed to tell the root of the resulting AVL tree.
Input Specification:
Each input file contains one test case. For each case, the first line contains a positive integer N (≤20) which is the total number of keys to be inserted. Then N distinct integer keys are given in the next line. All the numbers in a line are separated by a space.
Output Specification:
For each test case, print the root of the resulting AVL tree in one line.
Sample Input 1:
5
88 70 61 96 120
Sample Output 1:
70
Sample Input 2:
7
88 70 61 96 120 90 65
Sample Output 2:
88最后，作为小白的嵌套循环，唯一能做的，就是耐心、细致，一点点进步。
原文地址：https://www.cnblogs.com/ZealYoung/p/10849950.html
时间： 2024-10-09 12:42:12