DP解LCS问题模板及其优化

LCS--Longest Common Subsequence，即最长公共子序列，一般使用DP来解。

常规方法：

dp[i][j]表示字符串s1前i个字符组成的字符串与s2前j个字符组成的字符串的LCS的长度，则当s1[i-1]==s2[j-1]时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]，否则dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])。

最终的dp[len1][len2]即最终答案。代码如下：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5
 6 char s1[505],s2[505];
 7 int len1,len2;
 8 int dp[505][505];
 9
10 int main(){
11     while(~scanf("%s%s",s1,s2)){
12         len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);
13         for(int i=0;i<=len1;++i) dp[i][0]=0;
14         for(int i=0;i<=len2;++i) dp[0][i]=0;
15         for(int i=1;i<=len1;++i)
16             for(int j=1;j<=len2;++j)
17                 if(s1[i-1]==s2[j-1])
18                     dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
19                 else
20                     dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
21         printf("%d\n",dp[len1][len2]);
22     }
23     return 0;
24 }

如果需要打印路径：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5
 6 char s1[505],s2[505];
 7 int len1,len2;
 8 int dp[505][505],path[505][505];
 9
10 void print(int p1,int p2){
11     if(p1==0||p2==0) return;
12     else{
13         if(path[p1][p2]==1) print(p1-1,p2-1),printf("%c",s1[p1-1]);
14         else if(path[p1][p2]==2) print(p1-1,p2);
15         else print(p1,p2-1);
16     }
17 }
18
19 int main(){
20     while(~scanf("%s%s",s1,s2)){
21         len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);
22         for(int i=0;i<=len1;++i) dp[i][0]=0;
23         for(int i=0;i<=len2;++i) dp[0][i]=0;
24         for(int i=1;i<=len1;++i)
25             for(int j=1;j<=len2;++j)
26                 if(s1[i-1]==s2[j-1])
27                     dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1,path[i][j]=1;
28                 else if(dp[i-1][j]>=dp[i][j-1])
29                     dp[i][j]=dp[i-1][j],path[i][j]=2;
30                 else
31                     dp[i][j]=dp[i][j-1],path[i][j]=3;
32         printf("%d\n",dp[len1][len2]);
33         print(len1,len2);
34         printf("\n");
35     }
36     return 0;
37 }

空间优化：

实际上只需要dp[n]就行了，滚动数组。因为dp[i][j]由dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1]，用dp[j]表示dp[i][j]，则更新dp[j]时用pre存储dp[i-1][j-1]，此时的dp[j-1]表示dp[i][j-1]，此时的dp[j]表示dp[i-1][j]，这样就大大优化了空间，详见代码：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5
 6 char s1[505],s2[505];
 7 int len1,len2,pre,tmp;
 8 int dp[505];
 9
10 int main(){
11     while(~scanf("%s%s",s1,s2)){
12         len1=strlen(s1),len2=strlen(s2);
13         memset(dp,0,sizeof(dp));
14         for(int i=1;i<=len1;++i){
15             pre=0;
16             for(int j=1;j<=len2;++j){
17                 tmp=dp[j];
18                 if(s1[i-1]==s2[j-1])
19                     dp[j]=pre+1;
20                 else
21                     dp[j]=max(dp[j-1],dp[j]);
22                 pre=tmp;
23             }
24         }
25         printf("%d\n",dp[len2]);
26     }
27     return 0;
28 }

时间优化：

据说可以将LCS转换为LIS解法，从而使时间复杂度降为O(nlogn)，但似乎在某些特殊情况复杂度比常规做法更麻烦，不被建议使用。等以后接触时再更......

原文地址：https://www.cnblogs.com/FrankChen831X/p/10423287.html