斜率优化专题3——bzoj 3156 防御准备 题解

【原题】

3156: 防御准备

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Description

Input

第一行为一个整数N表示战线的总长度。

第二行N个整数，第i个整数表示在位置i放置守卫塔的花费Ai。

Output

共一个整数，表示最小的战线花费值。

Sample Input

10

2 3 1 5 4 5 6 3 1 2

Sample Output

18

HINT

1<=N<=10^6,1<=Ai<=10^9

Source

Katharon+#1

【分析】DP的斜率优化。

设f[1]=a[1]

方程是f[i]=min(f[j]+(i-j)*(i-j-1)/2+a[i])

---------------------------斜率优化---------------------------------

设状态K比状态J更优

f[k]+(i-k)*(i-k-1)/2+a[i]<f[j]+(i-j)*(i-j-1)/2+a[i]

设K=k+1,J=j+1

f[k]+(i-k)*(i-K)/2<f[j]+(i-j)*(i-J)

2*f[k]-i*k-i*K+k*K<2*f[j]-i*j-i*J+j*J

2*(f[k]-f[j])+k*K-j*J<i*(k+K-j-J)

(2*(f[k]-f[j])+k*K-j*J)/(k+K-j-J)<i

【代码】

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long n,a[1000005],f[1000005],q[1000005],ans,h,t,i;
double xie(long long k,long long j)
{
  return (2.0*(f[k]-f[j])+k*(k+1)-j*(j+1))/(2*k-2*j);
}
int main()
{
  scanf("%lld",&n);
  for (i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lld",&a[i]);
  for (i=1;i<=n/2;i++) t=a[i],a[i]=a[n-i+1],a[n-i+1]=t;
  f[1]=a[1];h=t=1ll;q[1]=1ll;
  ans=a[1]+1ll*n*(n-1)/2ll;
  for (i=2;i<=n;i++)
  {
    while (h<t&&xie(q[h+1],q[h])<i) h++;
    f[i]=f[q[h]]+1ll*(i-q[h])*(i-q[h]-1)/2+a[i];
    ans=min(ans,f[i]+1ll*(n-i+1)*(n-i)/2);
    while (h<t&&xie(q[t],q[t-1])>xie(i,q[t])) t--;
    q[++t]=i;
  }
  printf("%lld",ans);
  return 0;
}

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