题目:
Given n, generate all structurally unique BST‘s (binary search trees) that store values 1...n.
For example,
Given n = 3, your program should return all 5 unique BST‘s shown below.
1 3 3 2 1 \ / / / \ 3 2 1 1 3 2 / / \ 2 1 2 3
confused what "{1,#,2,3}"
means? >
read more on how binary tree is serialized on OJ.
思路:这道题是求解所有可行的二叉查找树,从Unique Binary Search Trees中我们已经知道如何得到所有可行的二叉查找树。我们每次从1~n中遍历选取一个点i作为树的根,则左子树的组合numTrees(left)
和右子树的组合numTrees(right)乘积即为当前根的组合数。根据二叉查找树的定义,左子树结点个数为(i-1),右子树为(n-i)。思路是构造一个辅助函数,我们每次一次选取一个结点为根,然后递归求解此根的左右子树的所有结果。最后再根据左右子树的返回子树,依次选取接到根结点上。构造好之后在作为当前树的结果返回。
这道题思维上一个难点,就是如何连接所有的左右子树和根结点,我们这里将递归放进循环里面,采用这个技巧,可以抽离根结点和左右子树的节点,同时递归产生的仍然是左右子树的根结点。另外一点,如何设计递归结束条件,当start > end时,说明超出范围,递归结束,不存在该结点,push(NULL)
Attention:
1. 设置递归终止条件和特殊情况。
if(start > end) { trees.push_back(NULL); return trees; } if(start == end) { trees.push_back(new TreeNode(start)); return trees; }
2. trick: 将递归放进循环中,抽离根结点和左右子树的节点
//产生以i为根结点的左右子树的所有可能。i取值start到end vector<TreeNode*> leftTree = generateTrees_helper(start, i-1); vector<TreeNode*> rightTree = generateTrees_helper(i+1, end);
3. 如何连接根结点和左右子树,左右子树递归后返回的仍是左右子树的根结点,分别接到当前节点的左孩子和右孩子上,再把当前节点添加到树中。
TreeNode* root = new TreeNode(i); root->left = leftTree[j]; root->right = rightTree[k]; trees.push_back(root); //trees保存当前的根结点
4. 注意连接时,可行数= 左子树 * 右子树,注意循环条件,左子树的所有子树 * 右子树的所有子树。
5. 我们的辅助函数,始终维护的是根结点。
复杂度:NP问题
AC Code:
/** * Definition for binary tree * struct TreeNode { * int val; * TreeNode *left; * TreeNode *right; * TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {} * }; */ class Solution { public: vector<TreeNode *> generateTrees(int n) { return generateTrees_helper(1, n); } private: vector<TreeNode*> generateTrees_helper(int start, int end) { vector<TreeNode*> trees; if(start > end) { trees.push_back(NULL); return trees; } if(start == end) { trees.push_back(new TreeNode(start)); return trees; } for(int i = start; i <= end; i++) { //产生以i为根结点的左右子树的所有可能。i取值start到end vector<TreeNode*> leftTree = generateTrees_helper(start, i-1); vector<TreeNode*> rightTree = generateTrees_helper(i+1, end); //将左子树的所有可能和右子树的所有可能连接.leftTree[0]表示第一个节点。 for(int j = 0; j < leftTree.size(); j++) { for(int k = 0; k < rightTree.size(); k++) { TreeNode* root = new TreeNode(i); root->left = leftTree[j]; root->right = rightTree[k]; trees.push_back(root); //trees保存当前的根结点 } } } return trees; } };