声明：
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概述
随意选取一超平面w0、b0，然后用随机梯度下降算法不断极小化L(w, b)。
Ps: 极小化的过程不是一次使M中的全部误分类点的梯度下降，而是随机选取一个误分类点使其梯度下降。
过程概述
1，对于L(w, b) = -yi(w·xi+ b)。L(w, b)的梯度例如以下：
▽w L(w, b) = - yixi
▽b L(w, b) =- yi
2，随机选取一个误分类点(xi, yi)，对w，b更新：
w= w + ηyixi
b= b + ηyi
（η为步长。在统计学习中又称学习率）
这样，通过迭代能够期待L(w,b)不断下降，直到为0。
算法的第一种形式(感知机算法的原始形式)
输入：
训练数据集 T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，当中x1∈Rn，yi={+1,-1},i=1, 2, ..., n，学习率η(0 < η<= 1)
输出：
w, b。感知机模型 f(x) = sign(w·x + b)
过程:
1， 选取初值w, b
2， 在训练集中取数据(xi,yi)
3。 若 yi(w·xi+ b) <= 0 即分类不对。则：
w= w + ηyixi
b= b + ηyi
注：由于此时分类不正确，所以yi= -1
4， 转至步骤2，直到训练数据集中无误分类点
总结：
直观上解释上面的过程就是:
若一个实例点被误分类，即：位于超平面的错误一側时，需调整w, b 的值，使分离超平面向该误分类点的一側移动。以降低该误分类点与超平面的距离。直至超平面越过该误分类点使其被正确分类。
例：
输入：
训练数据集 x1= (3, 3)。x2 = (4, 3)，为正实例点(被正确分类)。x3 = (1, 1)为负实例点
求：
f(x)= sign(w·x + b)
ps：这里的w = (w(1),w(2))，x = (x(1), x(2))
解：
1。 令η=1，并取初值w0 = 0, b0= 0
2， 对x1= (3, 3)。yi(w·xi + b) = 0，未能被正确分类，因此更新w, b
w = w + ηy1x1 = (3, 3)
b= b + ηy1 = 1
获得线性模型：w·x + b = 3x(1) + 3x(2) + 1
3， 检查该线性模型：
对于x1和x2，∵正确分类，∴不改动w,b
对于x3= (1, 1)。∵y3(w·x3 + b) < 0。∴被误分类，∴须要改动w, b
|
到此说明下： a。 上面出现的yi不是f(x) = w·x + b的f(x)，而是代表某个点xi是否被正确分类的值： 正确分类 ：yi = 1 不对分类：yi = -1 所以。y1 = 1, y2 = 1, y3 = -1 所以，在上面的第三步中 对x1 和 x2： yi(w·xi + b) = 1*(3xi(1) + 3xi(2) + 1) > 0，被正确分类 对x3： y3(w·x3 + b) = -1*(3x3(1) + 3x3(2) + 1) = -1*(3*1 + 3*1 + 1) < 0，未被正确分类 b。 既然yi不是f(x)，那y坐标用什么表示？ 答案是： xi(1) 表示xi点的x坐标 xi(2) 表示xi点的y坐标 c。 w·x1为内积 于是对于w = (0, 0)，x1 = (3, 3)： w·x1 = 0*3 + 0*3 = 0 |
继续第三步，更新w, b：
w = w + ηy3x3 = (3, 3) + -1 * (1, 1) = (2, 2)
b= b + ηy3 = 1 + -1 = 0
于是，线性模型更新为：
w·x + b = 2x(1)+ 2x(2)
4。 迭代上述过程，直到：
w = (1, 1)，b = -3
即，线性模型为：
x(1)+ x(2) – 3
此时对全部的点均有yi(w·xi+ b) > 0。无误分类点，于是损失函数达到最小。
终于求得：
分离超平面：x(1)+ x(2) – 3
感知机模型：f(x) =sign(x(1) + x(2) – 3)
附，迭代过程：
|
迭代次数 |
误分类点 |
w |
b |
w·x + b |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
x1 |
(3, 3) |
1 |
3x(1) + 3x(2) + 1 |
|
2 |
x3 |
(2, 2) |
0 |
2x(1) + 2x(2) |
|
3 |
x3 |
(1, 1) |
-1 |
x(1) + x(2) - 1 |
|
4 |
x3 |
(0, 0) |
-2 |
-2 |
|
5 |
x1 |
(3, 3) |
-1 |
3x(1) + 3x(2) - 1 |
|
6 |
x3 |
(2, 2) |
-2 |
2x(1) + 2x(2) - 2 |
|
7 |
x3 |
(1, 1) |
-3 |
x(1) + x(2) – 3 |
|
8 |
无(模型确定) |
(1, 1) |
-3 |
x(1) + x(2) – 3 |
注：
上述过程中误分类点先后取：
x1，x3，x3，x3，x1，x3，x3
得到 w = (1, 1)， b = -3
若误分类点先后取：
x1，x3，x3。x3，x2，x3，x3，x3，x1，x3，x3
那w = (2, 1)， b = -5
可见：
感知机学习算法假设採用不同的初值或迭代不同的误分类点，那结果也不同。
感知机算法的收敛性
到这里有个问题：
怎么知道对一个数据集，我们可採用感知机学习策略？
答案就是：
在经过有限次搜索后。可找到将训练数据全然正确分类的超平面，也就是说算法具有收敛性。
Ps1：算法收敛意味着训练数据集线性可分
Ps2：线性支持向量机可解决上例有多个解的问题
算法的另外一种形式(感知机算法的对偶形式)
在原始形式中有公式：
w= w + ηyixi
b= b + ηyi
那么如果一共改动了n次，则w，b关于(xi(1),xi(2))的增量分别为：
aiyixi和 aiyi (ai= niη)
即：
若η=1，则ai就是第i个点因为误分类而进行更新的次数。即ai = ni。
ai越大 => 实例点更新次数越多 =>越难正确分类，换句话说：这种实例对学习结果影响更大！
然后，感知机算法的对偶形式的算法例如以下：
输入：
线性可分数据集 T={(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，当中x1∈Rn。yi={+1,-1},i=1, 2, ..., n。学习率η(0 < η<= 1)
输出：
感知机模型 f(x) = sign( aiyixi·x + b)
过程:
1， 令a = 0。b = 0
2。 在训练集中取数据(xi,yi)
3， 若
则：
ai= ai + η
b= b + ηyi
4。 转至2直到无误分类数据
而因为对偶形式的训练实例仅以内积形式出现
所以我们预先将训练集中实例间的内积计算出来并以矩阵形式存储，即：产生Gram矩阵（格拉姆矩阵）
G = [ xi, yi ]n*n
样例
输入：
正样本点x1= (3, 3)。x2 = (4,3)
负样本点x3= (1, 1)
求：
感知机模型
解：
1， 令ai= 0。i = 1, 2, 3。b = 0，η=1
2， 计算Gram矩阵
x1·x1 x1·x2 x1·x3
G = x2·x1 x2·x2 x2·x3
x3·x1 x3·x2 x3·x3
3， 误分条件
yi( aiyixi·x + b) <= 0
时。參数更新
ai = ai +1
b = b + yi
4， 開始迭代
由于这里仅仅有3个点
所以：
= yi((a1y1x1·xi + a2y2x2·xi + a3y3x3·xi) + b)
= yi((a1x1·xi + a2x2·xi - a3x3·xi)+ b)
4.1，遍历全部的点。然而在对点x1(第一次迭代)时
由于1*(0 + 0*0 – 0*0) = 0 误分类
所以。
a1 = a1 +1 = 0 + 1 = 1
b = b + y1 = 0 + 1 =1
如今：
a1 = 1, a2= 0, a3 = 0, b = 1
4.2, 遍历全部的点
对点x1
y1*(1 *x1·x1+ 0 – 0 + 1) = 1*(18 + 1) > 0 被正确分类
x2同理，也被正确分类
对点x3
y3*(1 * x1·x3 + 0 – 0 + 1) = -1 * (6 +1) < 0 误分类
所以。
a3 = a3 +1 = 0 + 1 = 1
b = b + y3 = 1 - 1 =0
如今：
a1 = 1, a2= 0, a3 = 1, b = 0
4.3, 遍历全部的点。这一步中x1和x2被正确分类，而x3
y3*(1 *x1·x3+ 0 – 0 * x3·x3 + 0) = -1 * (6 -2) < 0 误分类
所以，
a3 = a3 +1 = 1 + 1 = 2
b = b + y3 = 0 - 1 =-1
如今：
a1 = 1, a2= 0, a3 = 2, b = -1
4.4, 同理，这一步中x1和x2被正确分类。而x3被误分类
所以，
a3 = a3 +1 = 3
b = b + y3 = -2
如今：
a1 = 1, a2= 0, a3 = 3, b = -2
4.5, 这一步中刚遍历到x1时就发现其被误分类
所以，
a1 = a1 +1 = 1 + 1 = 2
b = b + y1 = -2 + 1 =-1
如今：
a1 = 2, a2= 0, a3 = 3, b = -1
4.6，同理，遍历到x3时发现被误分类
更新a3和b之后，如今：
a1 = 2, a2= 0, a3 = 4, b = -2
4.7，同理，遍历到x3时发现被误分类
更新a3和b之后。如今：
a1 = 2, a2= 0, a3 = 5, b = -3
4.8。全被正确分类
5，得出结果：
w = 2x1 + 0x2-5x3 = 2(3,3) – 5(1,1) = (1,1)
b = -3
所以超平面为：
x(1) + x(2)-3 = 0
所以感知机模型为：
f(x) = sign(x(1) + x(2)-3)
随机梯度下降算法中感知机原始模式的代码演示样例
#-*-coding:utf-8-*-
# LANG=en_US.UTF-8
# 梯度下降算法 -- 感知机原始模式
# 文件名称：stochastic_gradient_descent.py
_list = [
[1, 1, -1],
[3, 3, 1],
[4, 3, 1],
]
w1 = w2 = 0
b = 0
n = 1
_len = len(_list)
while [ 1 ]:
num = 0
for i in _list:
x1 = i[0]
x2 = i[1]
y = i[2]
judge = y * (w1*x1 + w2*x2 + b)
if judge <= 0:
w1 = w1 + y*x1
w2 = w2 + y*x2
b = b + y
else:
num += 1
if num == _len:
print("f(x) = sign( (%s,%s)*x + %s )" % (w1, w2, b) )
break