迭代法的学习

迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：

（1）   选一个方程的近似根，赋给变量x0；

（2）   将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；

（3）   当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法 求得的x0就认为是方程的根。上述算法用程序的形式表示为：

【算法】迭代法求方程的根 
{   x0=初始近似根； 
  do { 
    x1=x0； 
    x0=g(x1)；   /*按特定的方程计算新的近似根*/ 
    } while ( Math.abs(x0-x1)>精度)； 
  System.out.printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)； 
}

public class Test1{

  public static double f(double x){
   double y;
   y=x*x*x-x*x-x-1;   //计算
   return(y);
 }
  public static void main(String args[]){
   double x0=1.1,x1=1.1;
   do{
    x1=x0;
    x0=1+1/x1+1/(x1*x1);
   }while(Math.abs(x0-x1)>1e-5);
   System.out.println(f(x0));
   System.out.printf("方程的近似根是%f\n",x0);
   }
}

C:\java>java Test1
-2.0056621405029063E-5
方程的近似根是1.839283

例2：解方程：x*x*x-x-1=0

public class Test2{

  public static double f(double x){
   double y;
   y=x*x*x-x-1;   //计算
   return(y);
 }
  public static void main(String args[]){
   double x0=1.5,x1=1.5;
   do{
    x1=x0;
    x0=Math.pow((1+x1),1/3.0);
   }while(Math.abs(x0-x1)>1e-7);
   System.out.println(f(x0));
   System.out.printf("方程的近似根是%f\n",x0);
   }
}

C:\java>java Test2
4.4345108918264486E-8
方程的近似根是1.324718

例3：
用迭代法求某数a的平方根。已知求平方根的迭代公式为：x [n+1] = (x[n] + a / x[n]) / 2
要求前后两次求出的差的绝对值小于10-5。

算法如下：

① 设定一个x的初值x0 ; (在如下程序中取x0=a/2, 通过迭代公式求出x1，可以肯定与真正的平方根相比，误差很大。)
② 用上述公式求出x的下一个值 x1 ;
③ 如此继续下去,直到前后两次求出的x值(x n+1和xn)满足以下关系:|x n+1-xn|<10-5 .

public class Test{
  public staic void main(String args[]){

double a; /* 被开方数 */
   double x0, x1; /* 分别代表前一项和后一项 */
   a=Double.parseDouble();
   x0 = a / 2; /* 任取初值 */
   x1 = (x0 + a / x0) / 2;
   while (Math.abs(x1 - x0) >= 1e-5)
    {
    x0 = x1;
    x1 = (x0 + a / x0) / 2;
   }
      System.out.printf("The square root of %5.2f is %8.5f\n", a, x1);
   }
}

运行结果:

C:\java>java Test 3
The square root of 3.00 is 1.73205

C:\java>java Test 100
The square root of 100.00 is 10.00000

C:\java>java Test 2
The square root of 2.00 is 1.41421