UVA 10061 How many zero's and how many digits ? (m进制，阶乘位数，阶乘后缀0)

题意：给出两个数字a和b，求a的阶乘转换成b进制后，输出（1）后缀中有多少个连续的0？　　（2）有多少位？

思路：逐个问题解决。

　　设a！=k。  k暂时不用直接转成b进制。

（1）阶乘后缀0问题。先看这个十进制后缀0的例子：http://www.cnblogs.com/xcw0754/p/4604473.html

　　解法差不多，稍变化。 首先将b分解成若干质数（比如8=｛2*2*2｝）保存在一个集合A中（注意自然数的质数分解是唯一的），只要有一个序列A就能构成一个0，因为满b就进位，b可以表示成10，表示一个1*b+0。那么我们需要知道k中究竟有多少个集合A。将k也质数分解成集合B，在集合B中每次减去一个A，每成功减掉1个A就有1个后缀0。

　　直接求a！不是会爆吗？是的。将k进行质数分解和将｛1~a｝进行质数分解是一样的。那么就遍历[1,a]逐个进行分解，注意大于b的质数就不用去求了，其不可能用来组成b的。求完的质数的集合B应该是2有几个，3有几个，5有几个，7有几个...。如果集合A中需要4个2，那就看B中有多少个2，每两个2就可以组成一个后缀0，如果B中有5个2，那么就有2个0啦。

　　总之，这步需要将b质数分解成A，将[1,a]质数分解成集合B，再看B中有多少个A。

（2）阶乘的位数问题。

　　先举个例子： 一个三位数n满足10² <= n < 10³

　　那么他的位数w 满足 w = log10³ = 3。 因此只要求lgn 向下取整 +1就是位数后因为阶乘比如5阶乘的话是5 * 4 * 3 * 2 * 1。他的位数就满足lg5 * 4 * 3 * 2 * 1 = lg5 + lg4 + lg3 + lg2 + lg1 这里用相加的就不会超过数字上限。

　　当然这是十进制下得。如果是m进制下，就把log₁₀ⁿ 换成log_mⁿ 就可以了。用高中知识：logm(n)的表示方法是 lgn / lgm。 这里有个double向下取整精度的问题要注意：转换成int时候，要floor(算出来的位数 + 1e-9) + 1.    注意：1e-9不要用变量存起来。

　　最后得出位数的计算方式为：floor( log_mⁿ + log_m^{(n - 1)} + ...+ log_m¹ + 1e-9) + 1.红色部分就是所要算的主要数字，用一个循环累加即可。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define LL long long
 3 using namespace std;
 4 const int N=2147483647;
 5 //const int mod=1e-9;   切记不能存起来，存起来时已经是个不精确值了。
 6 int has[999];  //哈希
 7 int need[999]; //进制的分解
 8
 9 int second(int a,int b)    //总位数
10 {
11     double tmp=0.0;
12     for(int i=2; i<=a; i++)    tmp+=log10(i);
13     if(b!=10)    tmp/=log10(b);     //转进制,10没必要转
14     return floor(tmp + 1e-9)+1;
15 }
16
17 int first(int a,int b)     //后缀0个数
18 {
19     memset(has,0,sizeof(has));
20     memset(need,0,sizeof(need));
21     for(int i=2; i<=a; i++)             //先分解阶乘中每个数
22     {
23         int t=i;
24         for(int j=2; j<=t&&j<=b; j++)   //质数为j
25         {
26             while(t%j==0)               //能被j整除的，全部除掉
27             {
28                 has[j]++;
29                 t/=j;
30             }
31         }
32     }
33     int t=b;
34     for(int i=2; i<=b; i++)      //进制b进行分解
35     {
36         while(t%i==0)
37         {
38             need[i]++;          //需要质数的个数记录起来
39             t/=i;
40         }
41     }
42
43     int cnt=N;
44     for(int i=2; i<=b; i++)
45         if(need[i]>0)    cnt=min(cnt,has[i]/need[i]);    //木桶原理,最低的一块木板起作用
46     return (cnt>=N?0:cnt);
47 }
48
49
50
51 int main()
52 {
53     //freopen("e://input.txt", "r", stdin);
54     int a, b;
55     while(~scanf("%d%d",&a,&b))
56         printf("%d %d\n", first(a,b), second(a,b));
57     return 0;
58 }

AC代码

UVA 10061 How many zero's and how many digits ? (m进制，阶乘位数，阶乘后缀0)