2020届成都一诊理科16题

已知直线\(y=kx\)与双曲线\(C:\; \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)相交于不同的两点\(A,B,\;\;F\)为双曲线\(C\)的左焦点\(,\;\)且满足\(|AF|=3|BF|,|OA|=b(O\)为坐标原点\(),\;\)则双曲线\(C\)的离心率为\(\underline{\qquad\qquad}.\)

法一\(:\;\)略。

法二\(:\;\)
\(AF_2=ex_A-a=a\Rightarrow x_A=\frac{2a^2}{c}\)
由\(Rt\triangle OF_2A\Rightarrow y_A=\frac{ab}{c}\)
由点\(A\)在双曲线\(C\)上\(\Rightarrow\cdots \Rightarrow e=\sqrt{3}\)。

法三\(:\;\)
记\(\angle AF_2 x=\theta\)，则\(|AF_2|=a=\frac{e\cdot \frac{b^2}{c}}{1-e\cos\theta}\Rightarrow \cos\theta=\frac{a^2-b^2}{ac}\)
在\(Rt\triangle OF_2A\)中，\(\sin(\pi-\theta)=\frac{b}{c}\Rightarrow\cdots \Rightarrow c^2=3a^2 \; or\; c^2=a^2\Rightarrow e=\sqrt{3}\)。

方法二和方法三使用的二手结论均来自圆锥曲线的第二定义。

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