动态规划 - OJ1768最大子矩阵

题目来源：http://noi.openjudge.cn/ch0206/1768/

1768:最大子矩阵

总时间限制: 1000ms；内存限制: 65536kB

描述：

已知矩阵的大小定义为矩阵中所有元素的和。给定一个矩阵，你的任务是找到最大的非空(大小至少是1 * 1)子矩阵。
比如，如下4 * 4的矩阵

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

的最大子矩阵是

9 2
-4 1
-1 8

这个子矩阵的大小是15。

输入：

输入是一个N * N的矩阵。输入的第一行给出N (0 < N <= 100)。再后面的若干行中，依次（首先从左到右给出第一行的N个整数，再从左到右给出第二行的N个整数……）给出矩阵中的N²个整数，整数之间由空白字符分隔（空格或者空行）。已知矩阵中整数的范围都在[-127, 127]。

输出：

输出最大子矩阵的大小。

来源

翻译自 Greater New York 2001 的试题

————————————————————————————————————————————————

刚拿到这道题的时候是有点懵逼的，因为对于二维结构想不到最优子结构，更想不到状态转移方程。

但是既然二维有困难，那么我们可以先把它转化为一维的结构。

铺垫：先想如何找一行一维数组的最大连续元素和呢？

重点是这个状态转移方程： b[i] = max { b[i-1] + b[i] , b[i] };

若到前一个元素为止的“最优的”累加和为正，则计算到当前元素的累加和时，需要加上先前的部分；反之则不。

现在我们来想怎么把二维压缩到一维：

矩阵内的元素为左上角的坐标（x1,y1）和右下角的坐标（x2,y2）决定。

如果我们暂时定下来目前是找 x1,x2 之间的，垂直长度已为|x2-x1|的矩形的最大面积；

那么既然宽度|x2-x1| 已经定下来了，那么这边枚举出来的矩阵面积，必定是某几连续列的整列和。

把每列的元素和都加起来，a[ym,x1]+……a[ym,x2]，即得到了一个一维数组。

再按照前面的铺垫，找到最大最大字段和，即为在|x2-x1|宽度约束下的最大矩形

外面再套两层for循环来枚举不同的 x1,x2 即可

以下是AC代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cmath>
 3 using namespace std;
 4
 5 int a[105][105];
 6 int b[105]; //算出目前x1-x2行的二维压缩成的一维数组
 7
 8 int main(){
 9     int N;
10     cin>>N;
11     for(int i=0;i<N;i++){
12         for(int j=0;j<N;j++){
13             cin>>a[i][j];
14         }
15     }
16     int ans=0;
17     for(int i=0;i<N;i++){
18         for(int j=i;j<N;j++){
19             memset(b,0,sizeof(b));
20             for(int p=0;p<N;p++){
21                 for(int q=i;q<=j;q++){
22                     b[p]+=a[q][p];//得到压缩后的一维数组
23                 }
24             }
25             for(int k=0;k<N;k++){
26                 b[k]=max(b[k],b[k]+b[k-1]);
27             }
28             for(int k=0;k<N;k++){
29                 ans=max(ans,b[k]);
30             }
31         }
32     }
33
34     cout<<ans<<endl;
35
36     return 0;
37 }

参考博客：https://www.cnblogs.com/GodA/p/5237061.html

原文地址：https://www.cnblogs.com/Accepted20191024/p/11745232.html