彻底搞懂四元数

提要

旋转的表达方式有很多种，有欧拉角，旋转矩阵，轴角，四元素等等，今天要学习的就是游戏开发中最常用的四元素。

从欧拉角和轴向角到四元数

在讲四元素之前，我们先来看下简单的欧拉角和轴向角。

欧拉角使用最简单的x,y,z值来分别表示在x，y，z轴上的旋转角度，其取值为0-360(或者0-2pi），一般使用roll，pitch，yaw来表示这些分量的旋转值。需要注意的是，这里的旋转是针对世界坐标系说的，这意味着第一次的旋转不会影响第二、三次的转轴。

欧拉角容易出现的问题是 1）不易在任意方向的旋转轴插值； 2）万向节死锁；3）旋转的次序无法确定。

轴角用一个以单位矢量定义的旋转角，再加上一个标量定义的旋转角来表示旋转。通常的表示[x,y,z,theta]，前面三个表示轴，最后一个表示角度。表示非常直观，也很紧凑。

轴角最大的一个局限就是不能进行简单的插值，此外，轴角形式的旋转不能直接施于点或矢量，必转换为矩阵或者四元素。

四元素感觉上就是轴角的进化，也是使用一个3维向量表示转轴和一个角度分量表示绕此转轴的旋转角度，即(x,y,z,w)，其中

w = cos(theta/2)
x  = ax * sin(theta/2)
y  = ay * sin(theta/2)
z  = az * sin(theta/2)

其中(ax,ay,az)表示轴的矢量，theta表示绕此轴的旋转角度。四元数中的每个数都是经过“处理”的轴和角，轴角描述的“四元组”并不是一个空间下的东西，首先（ax,ay,az）是一个3维坐标下的矢量，而theta则是级坐标下的角度，简单的将他们组合到一起并不能保证他们插值结果的稳定性，因为他们无法归一化，所以不能保证最终插值后得到的矢量长度（经过旋转变换后两点之间的距离）相等，而四元数在是在一个统一的4维空间中，方便归一化来插值，又能方便的得到轴、角这样用于3D图像的信息数据，所以用四元数再合适不过了。相比于矩阵，四元素也只要存储4个浮点数，优势很明显。

四元素的相关计算

乘法

给定两个四元数p和q，分别代表旋转P和Q，则乘积pq表示两个旋转的合成（即旋转了Q之后再旋转P），并不是用加法。四元数的乘法定义如下，利用简单的分配律就是了：

q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) +
(w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i +
(w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2) j +
(w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k

由于q = w + x i + y j + z k中可以分为纯量w与向量x i + y j + z k，所以为了方便表示，将q表示为(S, V)，其中S表示纯量w，V表示向量x i + y j + z k，所以四元数乘法又可以表示为：
q1 * q2 = (S1 + V1)*(S2 + V2) = S1*S2 - V1.V2 + V1XV2 + S1*V2 + S2*V1

求模

N(q) = |q| = x² + y² + z² + w²

单位化

Normalize( q ) = q/ | q | = q / (x² + y² + z² + w²)

求共轭

q*=(-x, -y, -z, w)

求逆

对于向量逆的定义, q^-1=q*/|q|²

对于单位四元素，分母为1，q^-1= q* =(-x, -y, -z, w)

用四元数旋转矢量

给定一个矢量v，再给定一个旋转的单位四元素q，让v旋转q。

首先将v改写成四元素的形式v = (x, y ,z, 0), 接下来要旋转v须用q前乘以矢量v，再后乘以q^-1。