JNUOJ 1180 - mod5

题目链接：http://jnuacm.club:8080/oj/problem_show.php?pid=1180

首先，可以自己先一个超时的标程出来：

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long ll;
 3 ll n,m,cnt;
 4 int main()
 5 {
 6     int t;
 7     scanf("%d",&t);
 8     while(t--)
 9     {
10         scanf("%d%d",&n,&m);
11         cnt=0;
12         for(int i=1;i<=n;i++)
13         {
14             for(int j=1;j<=m;j++)
15             {
16                 if((i+j)%5==0) cnt++;
17             }
18         }
19         printf("%lld\n",cnt);
20     }
21 }

那么考虑如何进行时间优化：

这样一来，原本例如（2 + 3）mod 5 = 0 的情况，我们得到的是 ( i_num = 1 ) * ( j_num = 1 ) = 1，1对( i , j )，

现在就可以使 ( i_num = 2 ) * ( j_num = 3 ) = 6，6对( i , j )

因此可以得到一个优化了时间复杂的算法：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 typedef long long ll;
 4 ll n,m,cnt,i_mod5_equal[5],j_mod5_equal[5];
 5 int main()
 6 {
 7     int t;
 8     scanf("%d",&t);
 9     while(t--)
10     {
11         scanf("%lld%lld",&n,&m);
12
13         cnt=0;
14         for(int i=0;i<=4;i++) i_mod5_equal[i]=0;
15         for(int i=1;i<=n;i++) i_mod5_equal[(i%5)]++;
16
17         for(int j=0;j<=4;j++) j_mod5_equal[j]=0;
18         for(int j=1;j<=m;j++) j_mod5_equal[(j%5)]++;
19
20         for(int i=0;i<=4;i++){
21             for(int j=0;j<=4;j++){
22                 if((i+j)%5==0) cnt+=i_mod5_equal[i]*j_mod5_equal[j];
23             }
24         }
25         printf("%lld\n",cnt);
26     }
27 }

显然，这样一个O(n)的算法，依然比较慢，还可以进一步优化：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 typedef long long ll;
 4 ll n,m,cnt,i_mod5_equal[5],j_mod5_equal[5];
 5 int main()
 6 {
 7     int t;
 8     scanf("%d",&t);
 9     while(t--)
10     {
11         scanf("%lld%lld",&n,&m);
12
13         cnt=0;
14         for(int i=0;i<=4;i++) i_mod5_equal[i]=n/5;
15         for(int i=1;i<=n%5;i++) i_mod5_equal[i]++;
16
17         for(int j=0;j<=4;j++) j_mod5_equal[j]=m/5;
18         for(int j=1;j<=m%5;j++) j_mod5_equal[j]++;
19
20         for(int i=0;i<=4;i++){
21             for(int j=0;j<=4;j++){
22                 if((i+j)%5==0) cnt+=i_mod5_equal[i]*j_mod5_equal[j];
23             }
24         }
25         printf("%lld\n",cnt);
26     }
27 }

这样就得到了一个O(1)的算法。

两次的时间比较很明显：