逆元小结

一、若a与n互素,那么可以用扩展欧几里德和欧拉函数求出a对于n的逆元。

ax≡1(mod n),x为a对于n的逆元。

直接用欧几里德求逆元x：

//a与n互素,逆元才有解
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;
void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
	if(!b)
	{
		d=a;x=1;y=0;
		return ;
	}
	exgcd(b,a%b,d,y,x);
	y-=x*(a/b);
}
LL inv(LL a,LL n)
{
	LL d,x,y;
	exgcd(a,n,d,x,y);
	return d==1?(x+n)%n:-1;
}
int main()
{
	cout<<inv(2,1e9+7)<<'\n';
	return 0;
}

欧拉定理：对于任何两个互质的正整数a，n(n>=2)，有a^(φ(n))≡1(mod
n)。

那么只要a与n互质,逆元x=a^(φ(n)-1)%n,可以用快速幂求出。

用欧拉定理求解逆元x:

LL inv(LL a,LL euler,LL n)
{
	LL ret=1;
	--euler;
	while(euler)
	{
		if(euler&1)
			ret=ret*a%n;
		euler>>=1;
		a=a*a%n;
	}
	return ret;
}

特殊地,若n是素数的话可以用费马小定理求解。

费马小定理：当n是素数时,a^(n-1)≡1(mod
n)。（费马小定理是欧拉定理的特殊情况）

那么逆元x=a^(n-2)%n。也可以用快速幂直接求出。

二、若a与n不互素,可以用通用的方法求出。(此方法求出的应该不能再叫逆元了)

引入问题：求p=a/b%n。(b与n不互素)

已知：除以一个数b等价与乘以它的乘法逆元inv(b)。

但是此时b与n不互素,因此不能用扩展欧几里德和欧拉定理求解。

可以直接用公式：p=a%(b*n)/b;公式不难证明。此方法是在poj1845的讨论区看到的........

另外附上大神的文章：ACdreamer-逆元详解