题目大概说给一个字符串，找到其所有子串[i...k]满足它是由两个回文串拼成的，求Σi*k。
官方题解这么说的：
用manacher算法O(n)求出所有的回文半径。有了回文半径后，就可以求出cntL[i]表示以i结尾的回文串的起始位置的和cntR[i]表示以i起始的回文串的结尾位置的和，然后就可以求出答案了，这里要注意奇偶长度回文串的不同处理。复杂度O(n)。
本渣渣看了好久想了好久。。才反应过来x1*y1+x1*y2+x2*y1+x2*y2=(x1+x2)*(y1+y2) 。。这个真反应不过来= =太渣了。。那么只要求出cntL[i]和cntR[i]，Σ(cntL[i]*cntR[i+1])就是要的答案了。
本渣渣又看了好久想了好久。。才想到怎么在O(n)求出cntL[i]和cntR[i]。。
- 首先，跑一下Manacher就能知道每个位置向左和向右最多能延伸的长度
比如中间位置是i（回文串是奇数的情况，偶数同理。另外先不管跑Manacher前插入的特殊字符，因为也同理。。），p[i]表示Manacher求得的延伸半径。
- 那么[i-p[i]+1, i+p[i]-1]就是回文串，故cntL[i+p[i]-1]就该加上i-p[i]+1；
- 而[i-p[i]+2, i+p[i]-2]也是回文串，cntL[i+p[i]-2]就该加上i-p[i]+2…………
总之可以知道这个就相当于，对于cntL数组要在[i, i+p[i]-1]区间上依次加上一个末项为i-p[i]+1且公差为-1的等差数列，cntR也是同理的这儿同样就不说了。
- 那么现在问题就是怎么对区间更新，让区间[L,R]加上一个首项k公差-1的等差数列，这些更新操作完成后要进行单点的查询，而且整个的时间复杂度要为O(n)。
区间更新自然就联想到延迟标记。即，更新操作就用O(1)打打标记，所有更新操作完成后，从左往右O(n)遍历过去，把标记传递过去，并更新真实的值。
- 那么打什么标记？
首先能想到有一个加标记sumtag，表示这个数需要加多少。对于让区间[L,R]加上一个首项k公差-1的等差数列，就让sumtag[L]+=k，然后传递标记中访问到L时把sumtag[L]加到真实的值里，并把标记下传，即sumtag[L+1]+=sumtag[L]-1。不过考虑到多个区间修改有叠加，那么应该还要开几个数组记录各个点有多少个更新操作，sumcnt，那么下传也就要改成sumtan[L+1]+=sumtag[L]-sumcnt[L]，另外sumcnt也要传递下去，即sumcnt[L+1]+=sum[cnt]。
不过这样还不够，因为这么传递会一直传递到数组尾巴，也就是说相当于更新了[L,MAXN]区间，而我们要的是[L,R]区间的更新，多更新了[R+1,MAXN]这个区间，而这个区间显然也是加上了一个等差数列！所以，考虑再用一个标记，减标记subtag，表示区间需要减的数，对于多更新的只要在subtag[R+1]这儿打上个标记就OK了！这个与sumtag是一样的，最后遍历标记下传的同时减去subtag的值即可，当然也需要subcnt。
于是这题就能这么解决了。。
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 #define MAXN 1111111
6
7 char s[MAXN<<1];
8 int p[MAXN<<1];
9 void manacher(){
10 int mx=0,id;
11 for(int i=1;s[i];++i){
12 if(mx>i) p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);
13 else p[i]=1;
14 for(;s[i+p[i]]==s[i-p[i]];++p[i]);
15 if(p[i]+i>mx){
16 mx=p[i]+i;
17 id=i;
18 }
19 }
20 }
21
22 char str[MAXN];
23
24 long long val[2][MAXN];
25 long long addtag[2][MAXN],addcnt[2][MAXN],subtag[2][MAXN],subcnt[2][MAXN];
26 void update(int flag,int l,int r,int k){
27 addtag[flag][l]+=k; addtag[flag][l]%=1000000007;
28 ++addcnt[flag][l];
29 subtag[flag][r+1]+=k-r+l; subtag[flag][r+1]%=1000000007;
30 ++subcnt[flag][r];
31 }
32 void pushdown(){
33 for(int i=1; str[i]; ++i){
34 if(addcnt[0][i]){
35 val[0][i]+=addtag[0][i]; val[0][i]%=1000000007;
36 addtag[0][i+1]+=addtag[0][i]-addcnt[0][i]; addtag[0][i+1]%=1000000007;
37 addcnt[0][i+1]+=addcnt[0][i];
38 }
39 if(subcnt[0][i]){
40 val[0][i]-=subtag[0][i]; val[0][i]%=1000000007;
41 subtag[0][i+1]+=subtag[0][i]-subcnt[0][i]; subtag[0][i+1]%=1000000007;
42 subcnt[0][i+1]+=subcnt[0][i];
43 }
44 if(addcnt[1][i]){
45 val[1][i]+=addtag[1][i]; val[1][i]%=1000000007;
46 addtag[1][i+1]+=addtag[1][i]-addcnt[1][i]; addtag[1][i+1]%=1000000007;
47 addcnt[1][i+1]+=addcnt[1][i];
48 }
49 if(subcnt[1][i]){
50 val[1][i]-=subtag[1][i]; val[1][i]%=1000000007;
51 subtag[1][i+1]+=subtag[1][i]-subcnt[1][i]; subtag[1][i+1]%=1000000007;
52 subcnt[1][i+1]+=subcnt[1][i];
53 }
54 }
55 }
56
57 int main(){
58 while(~scanf("%s",str+1)){
59 s[0]=‘$‘;
60 int i=1;
61 for(;str[i];++i){
62 s[(i<<1)-1]=‘#‘;
63 s[i<<1]=str[i];
64 }
65 s[(i<<1)-1]=‘#‘;
66 s[i<<1]=0;
67 manacher();
68
69 memset(val,0,sizeof(val));
70 memset(addtag,0,sizeof(addtag));
71 memset(addcnt,0,sizeof(addcnt));
72 memset(subtag,0,sizeof(subtag));
73 memset(subcnt,0,sizeof(subcnt));
74
75 for(int i=1; s[i]; ++i){
76 if(i&1){
77 if(p[i]/2==0) continue;
78 update(0,i/2-p[i]/2+1,i/2,i/2+p[i]/2);
79 update(1,i/2+1,i/2+p[i]/2,i/2);
80 }else{
81 update(0,i/2-p[i]/2+1,i/2,i/2+p[i]/2-1);
82 update(1,i/2,i/2+p[i]/2-1,i/2);
83 }
84 }
85 pushdown();
86
87 long long ans=0;
88 for(int i=1; str[i]&&str[i+1]; ++i){
89 ans+=val[1][i]*val[0][i+1];
90 ans%=1000000007;
91 }
92 if(ans<0) ans+=1000000007;
93 printf("%I64d\n",ans);
94 }
95 return 0;
96 }