代数学基本定理：设$P(z)\in \mathbb C^n[z],n\geq1$,那么$P_{n}(z)$在$\mathbb C$上有$n$个根.(不加说明的,以下均考虑次数大于零的多项式)
关于代数学基本定理先要做几点说明：
1).$P_{n}(z)$在$\mathbb C$上有$n$个根和在$\mathbb C$有一个根等价.用数学归纳法对阶数归纳很容易说明这点.
2).如果能够说明实系数多项式$Q_{n}(z)$在$\mathbb C$上有一个根,那么复系数多项式$P_{n}(z)$也成了.因为多项式$P(z)=P_{n}(z)\cdot\overline{P}_{n}(z)$是实系数的,其中$$\overline{P}_{n}(z)=\overline{a_{0}}+\overline{a_{1}}z+\cdots+\overline{a_{n}}z^n$$
那么$P(z)$有一个根$z_{0}$,那么$P_{n}(z_{0})=0$或$\overline{P}_{n}(z_{0})=0$,如果成立前者,那么结论已经成立.所以不妨设后者成立:
a.若$z_{0}\in\mathbb R$,那么$$\overline{P}_{n}(z_{0})=\overline{P}_{n}(\overline{z_{0}})=\overline{P_{n}(z_{0})}=0$$
所以$P_{n}(z_{0})=0$;
b.若$z_{0}\in\mathbb C\setminus\mathbb R$,那么$\overline{z_{0}}$也是$P(z)$的根,因此$P_{n}(\overline{z_{0}})=0$或者$\overline{P}_{n}(\overline{z_{0}})=\overline{P_{n}(z_{0})}=0$,显然无论哪个成立,都能够说明$P_{n}(z)$有根.
所以要证明代数学基本定理,我们只需要证明实系数多项式$P_{n}(z)\in\mathbb R^n[z]$在$\mathbb C$中有一个根即可.(进一步利用介值性定理可以说明奇数次实系数多项式必然有一个实根,所以只需要对偶数次多项式加以证明即可.)
一：用Cauchy积分定理证明代数学基本定理
Cauchy积分定理说的是:如果区域$D$是复平面$\mathbb C$上的简单闭曲线的内部,设函数$f$在$D$中全纯并且可以连续开拓到边界,即$$f\in H(D)\cap C(\overline{D})$$那么$\int_{\gamma}f(z){\rm d}z=0.$
设实系数多项式$p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^n,a_{n}\neq0$,如果他没有根,那么他在实轴$\mathbb R$上不变号,因此$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{p(2\cos\theta)}{\rm d}\theta\neq0$$
而\begin{align*}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{p(2\cos\theta)}{\rm d}\theta&=-i\int\limits_{|z|=1}\frac{1}{zp\left(z+\frac{1}{z}\right)}{\rm d}z\tag{1}\end{align*}
注意$zp\left(z+\frac{1}{z}\right)=\frac{q(z)}{z^{n-1}}$,其中$q(z)=z^np\left(z+\frac{1}{z}\right)$是一个$2n$次多项式.显然当$z\neq0$时,$q(z)\neq0$;而且直接计算可得$q(0)=1$.因此$q(z)$是整函数,根据Cauchy积分定理:(1)式积分为零.得到矛盾！
二、用Liouville定理证明代数学基本定理
Liouville定理说的是：如果全纯函数$f(z)$是一个有界整函数,那么$f$必常值.
假设设多项式$p(z)$没有根,那么$\frac{1}{p(z)}$为有界整函数.全纯是显然的,只需说明有界性.注意到$\lim_{z\to\infty}|p(z)|=+\infty$,因此存在$R>0$使得当$|z|\geq R$时,$\left|\frac{1}{p(z)}\right|\leq 1$,而在$|z|\leq R$时有界性是显然的，因此$\frac{1}{p(z)}$有界.
根据Liouville定理知$\frac{1}{p(z)}$常值,进而$p(z)$常值,矛盾!
三、用辐角原理证明代数学基本定理
辐角原理说的是:设$D$是复平面$\mathbb C$中的区域,而$f$是$D$上的全纯函数,设$\gamma$是$D$中的可求长简单闭曲线,$\gamma$的内部位于$D$中.而$f$在$\gamma$上无零点,那么当$z$沿着曲线$\gamma$正向转动一周时,$\gamma$在$f$下的像曲线$\Gamma$绕原点转动的(净)圈数恰好等于函数$f$在曲线$\gamma$内部零点的个数.
设有$n$次多项式$p(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n}z^n$,其中$a_{n}\neq0$.因为$$\Delta_{\gamma}p(z)=\Delta_{\gamma}z^n+\Delta_{\gamma}\left(a_{n}+\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{a_{0}}{z^{n}}\right)$$注意到$$\lim_{z\to\infty}\left(a_{n}+\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{a_{0}}{z^{n}}\right)=a_{n}$$
因此存在充分大的$R>0$使得当$z$沿着圆周$|z|=R$转一圈时$a_{n}+\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{a_{0}}{z^{n}}$完全落在以$a_{n}$为圆心,充分小的$\varepsilon<|a_{n}|$为半径的圆中,因此$\Delta_{|z|=R}\left(a_{n}+\frac{a_{n-1}}{z}+\cdots+\frac{a_{0}}{z^{n}}\right)=0$,所以$$\Delta_{|z|=R}p(z)=\Delta_{|z|=R}z^n=2n\pi$$
根据辐角原理知道$p(z)$在$|z|<R$中有$n$个根.
四、用Rouche定理证明代数学基本定理
Rouche定理说的是:设$f,g\in H(D)$,$\gamma$是区域$D$中的可求长简单闭曲线,设$\gamma$的内部属于$D$.如果在$\gamma$上有不等式$$|f-g|<|f|$$
那么$f,g$在$\gamma$内部有相同的零点个数.
由于$$\lim_{|z|\to\infty}\frac{|a_{0}|+|a_{1}z|+\cdots+|a_{n-1}z^{n-1}|}{|a_{n}z^n|}=0$$
因此可以选取充分大的$R$使得当$|z|=R$时有$$\left|a_{0}+a_{1}z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}\right|\leq|a_{0}|+|a_{1}z|+\cdots+|a_{n-1}z^{n-1}|<|a_{n}z^n|$$
由Rouche定理可知$p(z)$与$a_{n}z^n$在$|z|<R$中有相同的零点个数,显然是$n$个!