POJ 3604 Professor Ben（合数唯一分解，筛法素数表）

这题的大意就是 给出一个数n, 找到它所有的因子， 然后把这些（因子的因子数）的立方和求出来。

题目的时限虽然很宽，但是数据很BT。首先，公式必须找出来。

证明如下：

先将n质因数分解成形如n = a ^m * b ^ p * c ^q *........;

那么要求的结果为函数g(x)的值;

我们以n有2个质因数为例子；

g(n) = g(a ^m  *  b ^p ) ;

设求因子个数的立方的函数为f(x);

然后找到所有的因子并计算和;

g(a ^ m  *  b  ^ p ) = f( a ^ m * b ^ p ) + f( a ^ (m - 1) * b  ^  p ) + f( a ^ (m - 2) * b  ^ p ) +...... + f (a ^ 0 * b ^ p) +  f(a ^m * b ^ (p - 1)) +   f(a ^(m - 1) * b ^ (p - 1)) ......+ f(a ^ 0 * b ^ (p - 1)) +...............+f(a ^ m * b ^ 0) + f(a ^
(m - 1) * b ^ 0) +.........f(a ^ 0 * b ^ 0); ////   ①式

注意 这个序列里有 （m + 1） * ( n  + 1 )  个数， 所有的因子都表示出来了；

我们再观察f(x)的性质， 可以发现一个很重要的性质，如果 x, y互质，那么f( x * y ) = f(x) * f(y);   这个称为积性函数， 实际上自己观察规律就能找到这个性质；

我们再根据这个性质  就可以合并①式了；

g(a ^m  *  b ^p ) = (f(a ^m) + f(a ^ ( m - 1)) + f(a ^ (m - 2 ) ) + ..... + f(a ^ 0)) * (f(b ^p) + f(b ^ ( p - 1)) + f(b ^ (p - 2 ) ) + ..... + f(b ^ 0));

对于一个类似于x ^ y的因子数，答案是显而易见的 y + 1;

那么g(a ^m  *  b ^p )  = (1^3 + 2 ^ 3 + ..... + m ^ 3 + (m + 1)^ 3) * (1^3 + 2 ^ 3 + ..... + p ^ 3 + (p + 1)^ 3) ;

而立方和公式为 [(x * (x + 1)) / 2] ^ 2;

那么g(a ^m  *  b ^p ) = [((m  + 2)* (m + 1)) / 2] ^ 2  * [((p + 2) * (p+ 1)) / 2] ^ 2;

g(n) 就求出来了。

我们可以得到一个普遍规律了

如果一个合数能被分解为 a ^ m * b ^ n * c ^ p *.............(a, b, c ......均为素数, m, n, p.....均为自然数)

那么题目要求的结果就是  [((m  + 2)* (m + 1)) / 2] ^ 2  * [((n + 2) * (n+ 1)) / 2] ^ 2 *  [((p + 2) * (p+ 1)) / 2] ^ 2 *.............

以上解释来自：http://blog.csdn.net/sdj222555/article/details/6704144

自己的代码。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

#define N 5000001
#define bug(a) cout<<"--->"<<a<<endl
typedef long long ll;
int tot;
int pri[N];
bool valid[N];
int ispri[N];

void getprime()
{
    memset(valid,true,sizeof valid);
    valid[1]=false;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(valid[i])
            pri[++tot]=i;
        for(int j=1;(j<=tot)&&(i*pri[j]<N);j++)
        {
            valid[i*pri[j]]=false;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }

    }
}

int main()
{
    getprime();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        int ans=1;
        scanf("%d",&n);
        if(valid[n]) ans=9;
        else{
            for(int i=1;(i<=tot)&&pri[i]<=(int)sqrt(n+0.5);i++)          //n在不断减小，n>(pri[i])^2
                if(n%pri[i]==0)
                {
                    int time=0;
                    while(n%pri[i]==0)
                    {
                        time++;
                        n/=pri[i];
                    }
                    ans*=(time+1)*(time+2)*(time+1)*(time+2)/4;
                }
                if(n>1)
                    ans*=9;      //注意这个地方。当 1<n<(pri[i])^2,则n此时是一个素数，N=.......n^1
                                 //分解的最后一个数，而且只有一个[（1+1（1+2）/2 ]^2
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

POJ 3604 Professor Ben（合数唯一分解，筛法素数表）