仍然考虑 Cauchy 问题 $$\bee\label{3.2.1} \sedd{\ba{ll} \cfrac{\rd y}{\rd x}&=f(x,y),\\ y(x_0)&=y_0, \ea} \eee$$其中
(1) $f$ 在区域 $G$ 内连续;
(2) $f$ 关于 $y$ 满足局部 Lipschitz 条件: $$\bex \forall\ (\bar x,\bar y)\in G,\ \exists\ R:\ |x-\bar x|\leq a,\ |y-\bar y|\leq b,\st f\mbox{ 在 }R\mbox{ 上关于 }y\mbox{ 是 Lipschitz 的}. \eex$$
则由解的存在唯一性定理给出的解 $y=\varphi(x)$, $x\in [x_0-h,x_0+h]$ 可以一直延拓出去, 定义域可以扩张为 $(x_0-\al,x_0+\beta)$. 此时, 再也不能再延拓了, 记
(1) $(x_0-\al,x_0+\beta)$ 为解的最大存在区间;
(2) $y=\varphi(x)$, $x\in$$(x_0-\al,x_0+\beta)$ 为饱和解.
由解的存在唯一性定理立马得出如下解的延拓定理: 假设如上,
(1) 若 $G$ 为有界区域, 则 $$\bex (x,\phi(x))\to \p G,\quad x\to x_0+\beta. \eex$$
(2) 若 $G$ 为无界区域, 则
(a) $\beta=+\infty$;
(b) 或 $0<\beta<+\infty$, $(x,\phi(x))\to \p D,\quad x\to x_0+\beta$.
例 1: $$\beex \sedd{\ba{ll} \cfrac{\rd y}{\rd x}&=y^2-y^6\\ y(x_0)&=y_0>0 \ea}\ra \lim_{x\to +\infty}y(x)=1. \eeex$$
例 2: $$\beex \sedd{\ba{ll} \cfrac{\rd y}{\rd x}&=x^2+y^2\\ y(x_0)&=y_0 \ea}\ra y=\phi(x)\mbox{ 的存在区间有限}. \eeex$$
例 3: $$\beex \sedd{\ba{ll} \cfrac{\rd y}{\rd x}&=(x-y)e^{xy^2}\\ y(x_0)&=y_0 \ea}\ra y=\phi(x)\mbox{ 在 }[x_0,+\infty)\mbox{ 上有定义}. \eeex$$