转载 iir直接i型和直接ii型滤波器

1.IIR滤波器构造

之前在介绍FIR滤波器的时候，我们提到过，IIR滤波器的单位冲击响应是无限的！用差分方程来表达一个滤波器，应该是下式这个样子的。

这个式子是N次差分方程的表达式。我们明显可以看出，计算输出y(n)的时候，需要以前的输出值与输入值。换言之，这个可能表达式还有反馈环节。当为0的时候，这个滤波器由于没有反馈，其单位冲击响应是有限的，是FIR滤波器。当不为0是时候，是IIR滤波器。

2.直接I型IIR滤波器

就如同之前所说一样，我们考虑这样一个滤波器。

很明显，这是一个1阶才差分方程。由于不为0，这是一个1阶IIR滤波器的差分方程。为了方便观察，我们将其画系统成框图。

很明显的，要实现这个滤波器，我们需要2个单位的存储空间，用来存储过去的输入值与输出值。这样的话，考虑N阶的滤波器，我们就需要2N个存储单元。这种结构被称作直接I型结构。

3.直接II型IIR滤波器

我们先观察上图的直接I型滤波器，将其视为有两个较小系统串联而成的系统。由于是串联，那么，顺序必定不影响输入输出结果，那么，我们将其调整一下位置。得到就像下图一样的一个新的系统。

然后，我们可以发现，其实，这个系统完全没有必要使用两个延迟算子，可以合并使用。将其延迟算子合并，那么，可以得到下面这样一个系统。

这个系统与之前的直接I型系统一样，拥有完全相同的输入输出特性。并且，节省了一半的延迟算子。实现这个滤波器所需要的存储空间为N。