前面写了一篇向量点积定义的证明，由于这个证明比较简单，所以也没有引起深入的思考。后来打算写一篇叉积的证明时，却发现有些东西真的不好理解。
设两个向量$\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1), \mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$，两向量夹角为$\theta$，很多教材包括维基百科(Cross Product)等给出的定义都是：
$$\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta}$$
其中$\mathbf{n}$是垂直于向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的单位向量，方向由右手法则确定。这样定义似乎没什么不妥，但是我在考虑一些问题：给出这个定义的数学家，他是怎么发现叉积的结果垂直于两向量？向量的模长为什么恰好等于$|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta}$？下面给出我对这些问题的理解。
我想数学家们刚开始定义向量的叉乘运算($\times$)时，给出的唯一基本定义是：$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$的结果$\mathbf{c}$是垂直于向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的一个向量，其方向由右手法则确定；如果向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$平行，则叉积结果为零向量。有了这个定义，再根据乘法对加法的分配率，便可得到叉积运算的坐标表达式：
\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} = & (x_1\mathbf{i} + y_1\mathbf{j} + z_1\mathbf{k}) \times (x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} + z_2\mathbf{k}) \\ = &\ x_1\mathbf{i} \times (x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} + z_2\mathbf{k}) + y_1\mathbf{j} \times (x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} + z_2\mathbf{k}) + z_1\mathbf{k} \times (x_2\mathbf{i} + y_2\mathbf{j} + z_2\mathbf{k}) \\ = &\ x_1 x_2 (\mathbf{i} \times \mathbf{i}) + x_1 y_2 (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) + x_1 z_2 (\mathbf{i} \times \mathbf{k}) + \\ &\ y_1 x_2 (\mathbf{j} \times \mathbf{i}) + y_1 y_2 (\mathbf{j} \times \mathbf{j}) + y_1 z_2 (\mathbf{j} \times \mathbf{k}) + \\ &\ z_1 x_2 (\mathbf{k} \times \mathbf{i}) + z_1 y_2 (\mathbf{k} \times \mathbf{j}) + z_1 z_2 (\mathbf{k} \times \mathbf{k}) \end{align}
其中$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$分别表示x、y、z轴方向的单位向量。那么根据向量叉积的定义：$\mathbf{i} \times \mathbf{i} = \mathbf{j} \times \mathbf{j} = \mathbf{k} \times \mathbf{k} = \mathbf{0}$，$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$，$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$，$\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$，$\mathbf{j} \times \mathbf{i} = -\mathbf{k}$，$\mathbf{k} \times \mathbf{j} = -\mathbf{i}$，$\mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$，因此便得到：
\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= (y_1 z_2 - z_1 y_2) \mathbf{i} + (z_1 x_2 - x_1 z_2) \mathbf{j} + (x_1 y_2 - y_1 x_2) \mathbf{k} \\ &= (y_1 z_2 - z_1 y_2, \ z_1 x_2 - x_1 z_2, \ x_1 y_2 - y_1 x_2)\end{align}
下面来证明$|\mathbf{c}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta}$：
\begin{align} |\mathbf{c}|^2 = &\ (y_1 z_2 - z_1 y_2)^2 + (z_1 x_2 - x_1 z_2)^2 + (x_1 y_2 - y_1 x_2)^2 \\ = &\ y_1^2 z_2^2 + z_1^2 y_2^2 - 2y_1 y_2 z_1 z_2 + z_1^2 x_2^2 + x_1^2 z_2^2 - 2x_1 x_2 z_1 z_2 + \\ &\ x_1^2 y_2^2 + y_1^2 x_2^2 - 2x_1 x_2 y_1 y_2 \end{align}
又根据向量点积的定义：
\begin{align} (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta})^2 &= (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 \sin^{2}{\theta} \\ &= (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 (1 - \cos^{2}{\theta}) \\ &= (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 \left(1 - \frac{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2}{(|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2} \right) \\ &= (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \end{align}
因为：
\begin{align} (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 = &\ \left( \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \right)^2 \\ = &\ (x_1^2 + y_1^2 + z_1^2) (x_2^2 + y_2^2 + z_2^2) \\ = &\ x_1^2 x_2^2 + y_1^2 y_2^2 + z_1^2 z_2^2 + x_1^2 y_2^2 + x_1^2 z_2^2 + y_1^2 x_2^2 + y_1^2 z_2^2 + z_1^2 x_2^2 + z_1^2 y_2^2 \end{align}
而且
\begin{align} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = &\ (x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2)^2 \\ = &\ x_1^2 x_2^2 + y_1^2 y_2^2 + z_1^2 z_2^2 + 2x_1 x_2 y_1 y_2 + 2x_1 x_2 z_1 z_2 + 2y_1 y_2 z_1 z_2 \end{align}
容易看出：$(|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|)^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = |\mathbf{c}|^2$，即：
$$|\mathbf{c}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta}$$