由 27 October in ss 中的一道题阐发：
拓展：把 \(n\) 个相同物品放入 \(m\) 个篮子, 若
(1) 篮子可以为空, 篮子不同：共有 \(C_{n+m-1}^{m-1}\) 种方案.
(2) 篮子不可以为空, 篮子不同：共有 \(C_{n-1}^{m-1}\) 种方案. （挡板法）
(3) 篮子可以为空, 篮子相同：方案递推式为 \(f(n,m)=f(n-1,m)+f(n,m-1)\).
(4) 篮子不可以为空, 篮子相同：方案算式为 \(f'(n,m)=f(n-m,m)\).
推广：记 \(Q(n,m)\) 为把自然数 \(n\) 拆分为 \(m\) 个无序的自然数的方案数.
\[\displaystyle Q(n,m)=\begin{cases} 1,& m=1\text{ or } n=1,\\ Q(n,n),& m>n,\\ 1+Q(n,n-1),& m=n,\\ Q(n,m-1)+Q(n-m,m),& m<n. \end{cases} \]
排列组合题的常见解题方法：捆绑法、插空法、分组法、挡板法、优限法、倍缩法、间接法.
捆绑法——解相邻问题
例1：(1) 求 7 的排列中偶数必相邻的排列种数. (2) 求 7 的排列中偶数互不相邻的排列种数.
对于 (1), 因为偶数必相邻, 所以把偶数 “捆绑” 为一个整体, 与 1, 3, 5, 7 排序, 有 \(A_5^5\) 种排法；偶数 “捆绑” 的内部, 有 \(A_3^3\) 种排法. 根据乘法原理, 共有 \(A_5^5\cdot A_3^3=720\) 种排法.
对于 (2), 先对奇数排序, 共 \(A_4^4\) 种排法；将 2, 4, 6 插入 1, 3, 5, 7 之间, 有 5 个间隙, 有 \(A_5^3\) 种 “插入” 方法. 根据乘法原理, 共有 \(A_4^4\cdot A_5^3=1440\) 种排法.
\(n\) 个不同元素必须相邻, 有 \(A_n^n\) 种 “捆绑” 方法.
\(n\) 个不同元素互不相邻, “插入” \(m\) 个间隙中, 有 \(A_m^n\) 种 “插入” 方法.
插空法——解不相邻问题
例2：6个不同物品放在九个相同容器里, 每个容器只能放入最多一个物品, 每个空容器两边都有物品, 求方案数.
6 个不同物品有 \(A_6^6\) 种不同的顺序；把 3 个相同空容器 “插入” 到 6 个人当中的 5 个 “空隙”, 有 \(C_5^3\) 种方法. 根据乘法原理, 共有 \(A_6^6\cdot C_5^3=7200\) 种方案.
\(n\) 个相同元素互不相邻, “插入” \(m\) 个间隙中, 有 \(C_m^n\) 种 “插入” 方法.
分组法——解不同元素分组问题
例3：求将 1, 2, 3, 4, 5, 6 分为 3 组的分组方法.
分类讨论：
第一类 (1-1-4) 分法（整体等分, 局部不等分）：(法1) 6 取 4 “捆绑”, 得 \(C_6^4=15\). (法2) 先取 1 个为 \(C_6^1\)；再取 1 个为 \(C_5^1\), 两次选取无先后之分, 所以再除以 \(A_2^2\)；剩下 4 个自成一组. 得 \(\displaystyle \frac{C_6^1\cdot C_5^1}{A_2^2}=15\).
第二类 (1-2-3) 分法（整体和局部均不等分）：6 取 1 为 \(C_6^1\)；5 取 2 为 \(C_5^2\)；余下自成一组. 得 \(C_6^1\cdot C_5^2=60\).
第三类 (2-2-2) 分法（整体和局部均等分）：6 取 2 为 \(C_6^2\)；4 取 2 为 \(C_4^2\), 两次选取无先后之分, 所以再除以 \(A_2^2\)；剩下 2 个元素自成一组. 得 \(\displaystyle \frac{C_6^2\cdot C_4^2}{A_2^2}=15\).
根据加法原理, 共有 \(15+60+15=90\) 种不同的分法.
若干不同元素等份为 \(n\) 组, 要对每一个组求组合数, 乘积再除以 \(A_n^n\).
挡板法——解相同元素分组问题
例4：将 8 个相同物品放入 3 个不同容器, 每个容器至少放一个物品, 求方案数.
将 8 个物品放在一起, 插入 7 个 “挡板”：〇|〇|〇|〇|〇|〇|〇|〇. 任意保留 2 个 “挡板” 即可, 为 \(C_7^2=21\).
\(n\) 个相同元素分为 \(m\) 组, 有 \(C_{n-1}^{m-1}\) 种 “插挡板” 方法.
优限法——解含特殊条件问题
例5：7 个元素排列, 其中两个元素 A, B 特殊, (1) 求 A, B 只能放在两端的排法. (2) 求 A, B 不能放在两端的排法.
对于 (1), A, B 放在两端有 \(A_2^2\) 种；余下 5 个元素有 \(A_5^5\) 种. 根据加法原理, 有 \(A_2^2\cdot A_5^5=240\) 种排列方法.
对于 (2), 除去 A, B 的其余 5 个元素放在两端有 \(A_5^2\) 种；余下 5 个元素（含 A, B）有 \(A_5^5\) 种. 根据加法原理, 有 \(A_5^2\cdot A_5^5=2400\) 种排列方法.
对于含特殊条件的问题, 优先处理特殊条件, 称为优限法.
倍缩法——解方案有重问题
先按照一个方法, 计算出来的排列数或组合数, 是每一种排列或组合都重复了相同次数统计出来的, 这时只需把所计算出来的数字除以重复的次数, 即可得到要求的排列数或组合数, 这种解析排列组合应用题的方法即为倍缩法.
间接法——解正向求解不显然问题
对于正向求解不显然的问题, 可以考虑反向求解, 用总方案扣除不符合要求的方案. 注意不要多扣、不要少扣.
参考文献：
- 李苏勇. 用捆绑、插空、分组、挡板法解排列组合题[J]. 吕梁教育学院学报, 2008, 25(4): 67-68.
- Yogurshinem. m个苹果放入n个篮子. 博客园. https://www.cnblogs.com/Yogurshine/p/3829477.html
原文地址：https://www.cnblogs.com/greyqz/p/9867098.html