最短路算法汇总

校赛完了，这次校赛，做的很差，一个算法题没有，2个水题，1个贪心，概率DP，DP，数论题。DP还没开始研究，数论根本不会，数学太差了，省赛时卡数论，校赛依然卡数论，我擦，还是得继续学习啊！

一把锈迹斑斑的剑，只有不断的磨砺，才能展露锋芒！

以下为最短路总结：

最短路问题可分为：

一、单源最短路径算法，解决方案：Bellman-Ford算法，Dijkstra算法，SPFA

二、每对顶点间的最短路径算法：Floyd；

(1).Dijkstra算法：

（经典的算法，可以说是最短路问题的首选事例算法，但是不能处理带负权的边，因为该算法要遍历的点过多，效率低下，用时长，仅限于小数据，不常用）

基本思想：

Dijkstra算法，本质上是利用贪心思想来不停的来进行贪心选择，查找最优解，开辟一个s[]，用来存放这些点，

dis[]用来存放所能经过的每个点的最短距离，并进行dis[]的更新操作。

模版如下：

   int m,n,map[max][max],dis[max],s[max];
//int prev[max];//当前点的上一个节点

    void Dijkstra(int v0)
  {
    for(int i = 0;i<n;i++) //初始化dis[]
    {
        s[i] = 0;
        dis[i] = map[v0][i];
     /*   if(i!=v0 && map[v0][i]<inf)
        prev[i] = v0
         else
        prev[i] = -1;  */
    }
    s[v0] = 1;
    dis[v0] = 0;
    for(int i = 2;i<=n;i++)
    {
        int u = v0,min = inf;
        for(int j = 0;j<n;j++)//贪心查找还未存储的最优解的点,并储存
        {
            if(!s[j] && dis[j] < min)
            {
                u = j;
                min  = dis[j];
            }
        }
        s[u] = 1;
        for(int j = 0;j<n;j++)//更新dis[]数组
        {
            if(!s[j] && map[u][j] < inf && dis[u] + map[u][j] < dis[j])

            {
                 dis[j] = map[u][j] + dis[u];
                 //prev[j] = u;
             }

        }
    }
  }

(2).Bellman-Ford

(用来判断是否有回环，可处理带负权边 时间复杂度O(V*E).)

基本思想：（DP思想，查找最优解，并不断的进行松弛操作，但是算法浪费了许多时间做冗杂的松弛操作，效率降低）

void add()
{
    scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
    edge[l].u = u; edge[l].v = v; edge[l++].w = w;
    edge[l].u = v; edge[l].v = u; edge[l++].w = w;
}

int Bellman(int cnt)
{
    int i,j,flag;
    for(i = 1;i <= N - 1;i++)
    {
        flag = 0;
        for(j = 0;j <= count - 1;j++)
          {
              if(dis[edge[j].u]> dis[edge[j].v] + edge[j].w)
                {    //松弛计算
                dis[edge[j].u] = dis[edge[j].v] + edge[j].w;//更新dis[]数组，使其存储 源点->当前点的最短距离
                flag = 1;
                }
          }
        if(flag==0)//如果查找完,或者有些点达不到，跳出
            break;
    }
    for(i = 0;i < count;i++)//判断是否有负环路
        {
            if(dis[edge[i].u] > dis[edge[i].v] + edge[i].w)//更新完dis[]后，如果还存在 该成立条件，则存在负环路
            return 1;
        }                                              //  如1->2 权值2
    return 0;                                         //     2->3 权值5
                                                      //     3->1 权值-8
                                                    //       1->2->3->1 一次循环为-1 二次-2  三次....
}

（2）FLOYD

这个实在没什么好说的，做题目时，只要确定的 时间不超，就可以用，前提是记下，时间复杂度O(n*n*n).

 void init()
{
         for(i=0;i<n;i++)
        for(j=0;j<n;j++)
        {
           map[i][j] = (i==j)?0:inf;
        }
 }
void floyd()
{
         for(k=0;k<n;k++)
      {
          for(i=0;i<n;i++)
            {
                for(j=0;j<n;j++)
                {
                  if(map[i][k]!=inf && map[k][j]!=inf && map[i][j]>map[i][k] + map[k][j] )
                   {
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];
                   }
                 }
             }
      }
}

(4)SPFA

书上说是在bellman-ford的基础上，添加一个队列操作，减少了其不必要的松弛操作。

我个人认为是在BFS搜索的基础上加了一步所谓的松弛操作，至于为什么叫松弛，不懂。

但是SPFA优化的很棒，以后最短路问题，尽量用它

void SPFA(int s，int e)   S点 到e点
{
    int l,r,i;
    l=r=0;
    memset(vt,0,sizeof(vt));
    for(i=0;i<n;i++)
    dis[i]=inf;
    dis[s]=0;
    q[r++]=s;//进队列
    vt[s]=1;//标记 进队列1
            //不在队列为0
    while(l<r)
    {
        int p=q[l++];//出队列
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            if(dis[i]>dis[p] + map[p][i])
            {
                dis[i] = dis[p] + map[p][i];
                if(!vt[i])
                {
                    q[r++] = i;
                    vt[i] = 1;
                 }
            }
        }
        vt[p] = 0;
    }
    if(dis[e]!= inf)
    printf("%d\n",dis[e]);
    else
    printf("-1\n");
}

最短路算法汇总,布布扣,bubuko.com