bzoj2876 [Noi2012]骑行川藏 [二分+拉格朗日乘数法]

Description

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi‘ ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi‘ 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi‘ )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi‘ )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。

【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi‘ < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

Input

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi‘ ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。

Output

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。

Sample Input

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

Sample Output

12531.34496464 

【样例说明】 一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。

Solution

不要看我，我是数学渣。

大爷题解

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 10005;
const double eps = 1e-12;
const double INF = 1e9;

int n;
double E;
double s[MAXN], k[MAXN], vv[MAXN];
double v[MAXN];

double cal(double lambda) {
    double tot = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double l = max(0.0, vv[i]), r = INF;
        while (l + eps < r) {
            double mid = (l + r) / 2;
            v[i] = mid;
            if (2 * lambda * k[i] * v[i] * v[i] * (v[i] - vv[i]) < 1) l = mid;
            else r = mid;
        }
        v[i] = (l + r) / 2;
        tot += k[i] * (v[i] - vv[i]) * (v[i] - vv[i]) * s[i];
    }
    return tot;
}

int main() {
    scanf("%d %lf", &n, &E);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%lf %lf %lf", &s[i], &k[i], &vv[i]);
    double l = 0, r = INF;
    while (l + eps < r) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (cal(mid) >= E) l = mid;
        else r = mid;
    }
    double ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        ans += s[i] / v[i];
    printf("%.6lf\n", ans);
    return 0;
}