3243: [Noi2013]向量内积 - BZOJ

Description

两个d 维向量A=[a1,a2,...,ad]与B=[b1,b2,...,bd]的内积为其相对应维度的权值的乘积和，即：

现有 n 个d 维向量x1,...,xn ，小喵喵想知道是否存在两个向量的内积为k的倍数。请帮助她解决这个问题
Input

第一行包含3个正整数n,d,k，分别表示向量的个数，维数以及待检测的倍数。
接下来n行每行有d个非负整数，其中第i行的第j个整数表示向量xi的第j维权值xi,j。
Output

包含两个整数，用空格隔开。
如果存在两个向量xp,xq的内积为k的整数倍，则输出两个向量的编号p与q（要求p<q）。如果存在多组这样的向量组合，输出其中任意一组即可。
若不存在这样的向量组合，则输出两个-1。
Sample Input
Sample Output
HINT

话说每次我都把题目复制一遍充字数2333

k=2时

我们把n个向量拼在一起，变成一个n*d的矩阵，设它为A，然后D=A*A’，A’为A的转置矩阵（行列互换），发现D[i,j]就表示向量i和向量j的内积

假设无解的话那么D矩阵除了对角线以外其他都是1，我们把无解的这个矩阵求出来设为C（只要求对角线），然后判断C和D是否相等，相等就无解

于是随机生成一个1*n的矩阵X判断X*A*A’是否等于X*C，假设不等于的话我们就找出不相等的那个位置，假设是第i个不相等，那就肯定存在一个j使得向量i与向量j的内积mod k=0

所以这个就暴力判断一下

k=3时

我们不能确定矩阵C的样子了，因为有三种情况0,1,2

但是我们发现1^2 mod 3=1，2^2 mod 3=1，所以我们让这个矩阵的元素都平方一下，那么矩阵C又变成了除了对角线其他都是1

但是前面又不好算了，其实也很好算，内积的平方拆开就变成了d^2维的向量的内积（空间存不下，直接照着式子算就行了）

其实随机生成矩阵不是很好，为0的话就没有用了，所以我直接用了全都是1的矩阵来跑答案

由于时间实在卡得太紧，我在Wikioi下了数据（可惜Wikioi没有spj）然后当提答题在bzoj上交了233

  1 const
  2     maxn=100100;
  3     maxd=110;
  4 var
  5     a:array[0..maxn,0..maxd]of longint;
  6     b,c,x,y:array[0..maxn]of longint;
  7     n,d,k:longint;
  8
  9 procedure work2;
 10 var
 11     i,j,k,s:longint;
 12 begin
 13     s:=0;
 14     for i:=1 to n do s:=s xor x[i];
 15     for i:=1 to n do c[i]:=s xor x[i] xor(x[i] and y[i]);
 16     for i:=1 to n do
 17         for j:=1 to d do
 18             b[j]:=b[j] xor (x[i] and a[i,j]);
 19     for i:=1 to d do x[i]:=b[i];
 20     for i:=1 to d do b[i]:=0;
 21     for i:=1 to d do
 22         for j:=1 to n do
 23             b[j]:=b[j] xor (x[i] and a[j,i]);
 24     for i:=1 to n do
 25         if b[i]<>c[i] then
 26         begin
 27             for j:=1 to n do
 28                 if i<>j then
 29                 begin
 30                     s:=0;
 31                     for k:=1 to d do
 32                         s:=s xor (a[i,k] and a[j,k]);
 33                     if s=0 then
 34                     begin
 35                         writeln(i,‘ ‘,j);
 36                         exit;
 37                     end;
 38                 end;
 39         end;
 40     writeln(‘-1 -1‘);
 41 end;
 42
 43 procedure work3;
 44 var
 45     i,j,k,s:longint;
 46 begin
 47     s:=0;
 48     for i:=1 to n do if y[i]>0 then y[i]:=1;
 49     for i:=1 to n do inc(s,x[i]);
 50     for i:=1 to n do c[i]:=(s-x[i]+x[i]*y[i])mod 3;
 51     for i:=1 to n do
 52         for j:=1 to d do
 53             for k:=1 to d do
 54                 inc(b[(j-1)*d+k],x[i]*a[i,j]*a[i,k]);
 55     for i:=1 to d*d do
 56         begin
 57             x[i]:=b[i]mod 3;
 58             b[i]:=0;
 59         end;
 60     for i:=1 to d do
 61         for j:=1 to d do
 62             for k:=1 to n do
 63                 inc(b[k],x[(i-1)*d+j]*a[k,i]*a[k,j]);
 64     for i:=1 to n do b[i]:=b[i]mod 3;
 65     for i:=1 to n do
 66         if b[i]<>c[i] then
 67         begin
 68             for j:=1 to n do
 69                 if i<>j then
 70                 begin
 71                     s:=0;
 72                     for k:=1 to d do
 73                         s:=s+a[i,k]*a[j,k];
 74                     if s mod 3=0 then
 75                     begin
 76                         writeln(i,‘ ‘,j);
 77                         exit;
 78                     end;
 79                 end;
 80         end;
 81     writeln(‘-1 -1‘)
 82 end;
 83
 84 procedure main;
 85 var
 86     i,j:longint;
 87 begin
 88     read(n,d,k);
 89     for i:=1 to n do
 90         for j:=1 to d do
 91             begin
 92                 read(a[i,j]);
 93                 a[i,j]:=a[i,j]mod k;
 94             end;
 95     for i:=1 to n do x[i]:=random(k);
 96     for i:=1 to n do
 97         for j:=1 to d do
 98             y[i]:=y[i]+a[i,j]*a[i,j];
 99     for i:=1 to n do y[i]:=y[i]mod k;
100     if k=2 then work2
101     else work3;
102 end;
103
104 begin
105     randomize;
106     main;
107 end.

3243: [Noi2013]向量内积 - BZOJ