poj3735—Training little cats（特殊操作转化为矩阵操作）

题目链接：http://poj.org/problem?id=3735

题目意思：

调教猫咪：有n只饥渴的猫咪，现有一组羞耻连续操作，由k个操作组成，全部选自：

1. g i 给第i只猫咪一颗花生

2. e i 让第i只猫咪吃光它的花生

3. s i j 交换猫咪i与猫咪j的花生

现将上述一组连续操作做m次后，求每只猫咪有多少颗花生？

思路：这道题难点在如何把这种奇怪的操作转化为矩阵操作，网络上看到一个画的很好的图，这里直接偷过来。

现在，对于每一个操作我们都可以得到一个转置矩阵，把k个操作的矩阵相乘我们可以得到一个新的转置矩阵T。A * T 表示我们经过一组操作，类似我们可以得到经过m组操作的矩阵为 A * T ^ m,最终矩阵的[0][1~n]即为答案。

上述的做法比较直观，但是实现过于麻烦，因为要构造k个不同矩阵。有没有别的方法可以直接构造转置矩阵T？答案是肯定的。

我们还是以单位矩阵为基础：

对于第一种操作g i，我们使Mat[0][i] = Mat[0][i] + 1
对于第二种操作e i，我们使矩阵的第i列清零；
对于第三种操作s i j，我们使第i列与第j列互换。
这样实现的话，我们始终在处理一个矩阵，免去构造k个矩阵的麻烦。
至此，构造转置矩阵T就完成了，接下来只需用矩阵快速幂求出 A * T ^ m即可，还有一个注意的地方，该题需要用到long long。

这里还要说一下T*A=A*T的转置。

代码：

 1 //Author: xiaowuga
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 #define maxx INT_MAX
 6 #define minn INT_MIN
 7 #define inf 0x3f3f3f3f
 8 #define N  105
 9 using namespace std;
10 typedef long long ll;
11 ll  n,size;//第n项，矩阵大小
12 struct Matrix{
13     ll mat[N][N];
14     void clear(){
15         memset(mat,0,sizeof(mat));
16     }
17     Matrix operator * (const Matrix & m) const{
18         Matrix tmp;
19         int i ,j,k;
20         tmp.clear();
21         for( i=0;i<size;i++)
22             for( k=0;k<size;k++){
23                 if(mat[i][k]==0) continue;
24                 for( j=0;j<size;j++){
25                     tmp.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j];
26                 }
27             }
28         return tmp;
29     }
30 };
31 void POW(Matrix m,ll k){
32     Matrix ans;
33     memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
34     for(int i=0;i<size;i++) ans.mat[i][i]=1;
35     while(k){
36         if(k&1) ans=ans*m;
37         k/=2;
38         m=m*m;
39     }
40     for(int i=1;i<size;i++){
41         cout<<ans.mat[0][i]<<" ";
42     }
43     cout<<endl;
44 }
45 int main() {
46     Matrix m;
47     int k;
48     while(cin>>size>>n>>k&&(size+n+k)){
49         size++;
50         m.clear();
51         for(int i=0;i<size;i++) m.mat[i][i]=1;
52         for(int i=0;i<k;i++){
53             char t[5];
54             int num1,num2;
55             cin>>t;
56             if(t[0]==‘g‘){
57                 cin>>num1;
58                 m.mat[0][num1]++;
59             }
60             else if(t[0]==‘e‘){
61                 cin>>num1;
62                 for(int j=0;j<size;j++){
63                     m.mat[j][num1]=0;
64                 }
65             }
66             else{
67                 cin>>num1>>num2;
68                 for(int j=0;j<size;j++)
69                     swap(m.mat[j][num1],m.mat[j][num2]);
70             }
71         }
72         POW(m,n);
73     }
74     return 0;
75 }