动态规划算法实例三则

动态规划属于不好理解的计算机基本算法之一。

需要经过多次实践，才能体会其精妙之处。

其精妙的地方在于：降低运算量。

下面通过实例理解动态规划解题思路。

实例一：求数组的最大连续和子数组。参考文章

用动态规划来解，首先得考虑状态和状态转移方程。如果我们把题述数组看成序列，那么是不是可以用序列DP来考虑呢？

我们不妨考虑一个这样的序列：1，-3，5，-2，4

a[i]表示这个序列的第 i 个元素，dp[i]表示最后一个元素是a[i]的最大连续和（此乃状态，是不是跟LIS的DP解法有点类似），于是：

dp[0] : a[0] ; ( 1 )

dp[1] : max(dp[0] + a[1] , a[1]) ; ( -2 )

dp[2] : max(dp[1] + a[2] , a[2]) ; ( 5 )

dp[3] : max(dp[2] + a[3] , a[3]) ; ( 3 )

dp[4] : max(dp[3] + a[4] , a[4]) ; ( 7 )

所以：ans = 7 （dp数组的最大值）

于是，我们可以得到状态转移方程：dp[i+1] = max(dp[i]+a[i+1] , a[i+1])

写成代码的话，我们可以忽略掉dp数组，直接用一个变量sum来记录 i 之前的最大增量（因为如果这个增量为负，则变为0）

java源码如下：动态规划求解复杂度为o(n)

	//动态规划方法dp
	public int maxSubArray3(int[] array) {
		int sum = 0;
		int ret = Integer.MIN_VALUE;
		for (int i = 0; i < array.length; i++) {
			sum += array[i];

			if (sum > ret) {
				ret = sum;
			}

			if (sum < 0) {
				sum = 0;
			}
		}

		return ret;
	}

	public static void main(String[] ars) {
		int[] a = { -2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};
		MaxSubArray array = new MaxSubArray();
		int max = array.maxSubArray3(a);
		System.out.println(max);
	}

注意：状态转移方程没有在代码中提现出来。

求子数组最大和问题，也可以直接遍历求解。复杂度为o(n^2)

java代码如下：

	//直接遍历求解
	public int maxSubArray4(int[] array) {
		int max = Integer.MIN_VALUE;
		int sum = 0;
		for (int i = 0; i < array.length; i++) {
			sum = 0;
			for (int j = i; j < array.length; j++) {
				sum += array[j];
				if (sum > max) {
					max = sum;
				}
			}
		}

		return max;
	}

实例二：数组分割成两个数组，且两子数组和的差最小。

动态规划解题思路：

1、原数组所有元素之和为sum.

2、子数组和的差最小，则子数组和尽量接近sum/2.

3、问题转化为，求原数组中的子数组，子数组之和尽量接近sum/2，最好等于sum/2.这样差就会为0。

4、转化为01背包问题：sum/2为背包容量。

状态转移方程为（参考文章2）：背包容量是SUM/2. 每个物体的体积是数的大小，然后尽可能的装满背包。

dp方程：f[i][V] = max(f[i-1][V-v[i]]+v[i], f[i-1][V] )

f[i][V]表示用前i个物体装容量为V的背包能够装下的最大值，f[i-1][V-v[i]]+v[i]表示第i个物体装进背包的情况，f[i-1][V]表示第i件物品不装进背包的情况。

java源码如下：

package test;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class SplitArray {
	static int[][] result = new int[20][20];

	static int split(int[] array) {
		int sum = 0;
		int len = array.length;
		for (int i = 1; i < len; i++){
			sum += array[i];
		}
		sum >>= 1;

		//动态规划
		for (int i = 1; i < len; i++) {			//循环数组
			for (int j = 0; j <= sum; j++) {	//背包容量
				if (j >= array[i]) {			//背包容量能放下array[i]
					result[i][j] = Math.max(result[i - 1][j], result[i - 1][j - array[i]] + array[i]);
				} else							//不能放下array[i]
					result[i][j] = result[i - 1][j];
			}
		}

		//查找出被
		int j = sum;
		List<Integer> listA = new ArrayList<Integer>();
		List<Integer> listB = new ArrayList<Integer>();
		for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
			if (result[i][j] > result[i - 1][j]) { //找出被选中的元素
				listA.add(new Integer(array[i]));
				j -= array[i];
			} else {
				listB.add(new Integer(array[i]));
			}
		}

		//显示划分结果
		Object[] ret = listA.toArray();
		System.out.println(Arrays.toString(ret));
		ret = listB.toArray();
		System.out.println(Arrays.toString(ret));

		//给出差值
		int sum1 = 0;
		int sum2 = 0;
		for (Integer integer : listA) {
			sum1 += integer;
		}
		for (Integer integer : listB) {
			sum2 += integer;
		}
		int diff = Math.abs(sum1 - sum2);
		return diff;
	}

	public static void main(String args[]) {
		int[] array = { 0, 3, 5, 2, 1, 4 };
		int diff = split(array);
		System.out.println("the diff is: " + diff);
	}
}

运行结果如下：

[2, 5]

[4, 1, 3]

the diff is: 1

实例三：经典背包问题温习（文考文章3）

01背包问题的动态规划转移方程为：

f[i][v] = max{ f[i-1][v] , f[i-1][v - c[i]] + v[i]}

参考文章

1、http://www.mamicode.com/info-detail-511949.html

2、http://www.tuicool.com/articles/ZF73Af

3、http://www.cnblogs.com/bourbon/archive/2011/08/23/2151044.html