【Math】证明：实对称阵属于不同特征值的的特征向量是正交的

实对称阵是一类常见的矩阵, 它与实二次型和实内积空间上的自伴随算子有着密切的联系. 任一实对称阵 $A$ 均正交相似于对角阵, 即存在正交阵 $P$, 使得 $P'AP=\mathrm{diag\,}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}$, 这是实对称阵的一条重要性质, 通常在内积空间理论的框架中加以证明. 然而, 实对称阵可对角化这一性质可以在引入矩阵可对角化的定义和判定准则后直接加以证明, 也可以利用 Jordan 标准型理论加以证明. 下面给出实

本文属作者原创,转载请注明出处: http://www.cnblogs.com/qxred/p/qralgorithm.html 首先推荐两个参考文献 https://www.math.kth.se/na/SF2524/matber15/qrmethod.pdf http://people.inf.ethz.ch/arbenz/ewp/Lnotes/chapter4.pdf 1. 基本的QR算法 我们先讨论一般对阵矩阵的QR算法,再讨论对称三对角阵的QR算法 给定一个实对称阵X,假设其特征值分解

/// <summary> /// 求实对称阵的 特征值 和 特征向量 /// </summary> /// <param name="data">实对称阵</param> /// <param name="num">维数</param> /// <param name="eigenvalue">引用参数 特征值 回传</param> /// <

本文属作者原创,转载请注明出处 http://www.cnblogs.com/qxred/p/dcalgorithm.html 本系列目录: lanczos算法及C++实现(一)框架及简单实现 lanczos算法及C++实现(二)实对称阵奇异值分解的QR算法 lanczos算法及C++实现(三)实对称三对角阵特征值分解的分治算法 0. 参考文献 https://en.wikipedia.org/wiki/Divide-and-conquer_eigenvalue_algorithm A. Mel

正交阵 $\bf命题:$设$A,B$为$n$阶实正交阵,且$\det \left( {A + B} \right) = \det \left( A \right) -\det \left( B \right)$,证明:$\det \left( A \right) = \det \left( B \right)$ 1 $\bf命题:$设$A,B$为$n$阶正交阵,则$n-r(A+B)$为偶数当且仅当$\det \left( A \right) = \det \left( B \right)$ 1

$\bf命题:$设$\sigma  \in L\left( {V,n,C} \right)$,${f_\sigma }\left( \lambda  \right)$是$\sigma$的特征多项式,且$\left( {{f_\sigma }\left( \lambda  \right),{{f'}_\sigma }\left( \lambda  \right)} \right) = 1$,则 (1)$\sigma \tau  = \tau \sigma $当且仅当$\sigma$的特征向量都是$

矩阵及其变换.特征值与特征向量的物理意义 最近在做聚类的时候用到了主成分分析PCA技术,里面涉及一些关于矩阵特征值和特征向量的内容,在网上找到一篇对特征向量及其物理意义说明较好的文章,整理下来,分享一下. 一.矩阵基础[1]: 矩阵是一个表示二维空间的数组,矩阵可以看做是一个变换.在线性代数中,矩阵可以把一个向量变换到另一个位置,或者说从一个坐标系变换到另一个坐标系.矩阵的“基”,实际就是变换时所用的坐标系.而所谓的相似矩阵(),就是同样的变换,只不过使用了不同的坐标系.线性代数中的相似矩阵实际

相似对角化 $\bf命题:$设$n$阶方阵$A$特征值互异,且$B$与$A$有相同特征值,则存在可逆阵$P$及矩阵$Q$,使得$A = PQ,B = QP$ 1 $\bf命题:$设$A,B \in {R^{2 \times 2}}$,且${A^2} = {B^2} = E,AB + BA = 0$,则存在可逆阵$P$,使得 \[{P^{ - 1}}AP = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ 0&{ - 1} \end{array}} \right

一.主成分分析法的思想 我们在研究某些问题时,需要处理带有很多变量的数据,比如研究房价的影响因素,需要考虑的变量有物价水平.土地价格.利率.就业率.城市化率等.变量和数据很多,但是可能存在噪音和冗余,因为这些变量中有些是相关的,那么就可以从相关的变量中选择一个,或者将几个变量综合为一个变量,作为代表.用少数变量来代表所有的变量,用来解释所要研究的问题,就能从化繁为简,抓住关键,这也就是降维的思想. 主成分分析法(Principal Component Analysis,PCA)就是一种运用线性代