求前 n 个正整数的 k 次方和

如何推导求和公式

\( 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

和

\( 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \)

呢？这需要一点技巧。

首先来看一个恒等式：

\( (n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1 \)

\( n^2=\frac{1}{3}\left [ (n+1)^3-n^3-(3n+1) \right ] \)

对上式求和，\( (n+1)^3-n^3 \) 会只剩首尾两项（中间的消掉了），\( 3n+1 \) 是等差数列，求和公式已知。这样就能求出二次方的求和公式。用同样的方法，可以推出三次方的求和公式：

\( (n+1)^4 - n^4 = 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1 \)

\( n^3 = \frac{1}{4}\left [ (n+1)^4 - n^4 - (6n^2+4n+1) \right ] \)

对上式求和，\( (n+1)^4 - n^4 \) 会只剩首尾两项，\( 6n^2 \) 和 \( 4n+1 \) 求和公式已知（前者可以用上面推导的二次方的求和公式，后者是等差数列。这样就能推出三次方的求和公式。一直这样递推下去就能得到各次的求和公式。